(正式)第10章 场与物质相互作用的量子理论

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1、1第第1010章章 场与物质相互作用的量子理论场与物质相互作用的量子理论10.1 量子力学的三种图像10.2 辐射场与原子的相互作用10.3 原子发射和吸收的跃迁几率10.5 激光器的库理论10. 6 激光的光子统计2处理激光问题三个层次的理论1速率方程理论2半经典理论3全量子理论3全量子力学方程半经典方程速率方程对泵浦和弛豫过程取平均忽略掉所有的相位关系用来研究激光线宽、强度的起伏 、相干性、光子统计等用来研究阈值条件、输出功率等(连 续运转、脉冲运转、调Q激光器)用来研究频率牵引和推斥、粒 子数的脉动、相位锁定、超短 脉冲、相干光学瞬态过程等三个层次理论之间的关系 10.1 量子力学的三种

2、图象 对同一个物理内容，可以存在多种不同的 数学描述方式，这些不同的描述方式是完 全等价的。量子力学对微观系统状态及其 运动规律存在三种等价的描述方式，称之 为图像(picture)，或表象，或绘景，它们是 ：1Schrdinger图像2Heisenberg图像3相互作用(Interaction)图像5在量子力学中，可观测量不是力学量算符和 态矢本身，而是力学量的平均值及其概率分 布，它们是随时间演化的。如果把力学量平 均值和概率分布随时间的演化，全都归之为 态矢随时间的演化，而力学量算符不随时间 演化，这种描述方式就是Schrdinger图像； 反之，全都归之为力学量算符随时间的演化 而态矢

3、保持不变，得到Heisenberg图像；部分 归之为态矢变化，部分归之为算符变化，则 是相互作用图像。610.1.1 Schrdinger图像在该图像中，体系的状态矢量|(t)是随时间 t演化的，其演化的方式遵守Schrdinger方程而力学量算符 不随时间演化： 。 力学量平均值随时间的演化由态矢来承载：7令其中算符 把t0时刻的态|(t0)变换成t1 时刻的态|(t1) ，称为时间演化算符，它代 表一个连续变换（t0和t1任意），把态矢随时 间变化而变化用一个变换算符的作用来体现 。8由于概率守恒=，且 故由于Hamiltonian算符是厄米算符，由后面的 (1.8)式，可以进一步给出9时

4、间演化算符还满足以下性质满足(1.3)式的算符成为幺正算符，它所代表的 的变换称为幺正变换（正交变换可看作是一种 特殊的幺正变换）10下面令t1=t，t0=0，且采用简写把由有11代入Schrdinger方程，有由于|(0)是任意的，故代表能量算符的Hamiltonian算符不显含t， (1.7)式有以下形式解1210.1.2 Heisenberg图像在下面，Schrdinger图像和Heisenberg图像下 的态矢和力学量算符分别带有上标S和H。在 Heisenberg图像中，力学量平均值随时间的演 化，完全归之于力学量算符随时间的演化，而 态矢保持不变。对于力学量平均值，有13其中分别是

5、Heisenberg图像下的态矢和力学量算符 。不显含时间的Hamiltonian算符，在两种图像 下是相等的，这是因为Hamiltonian算符与时间 演化算符是对易的。14因此，对Schrdinger图像下的态矢和力学量 算符，利用演化算符进行幺正变换，可以得 到Heisenberg图像下的态矢和力学量算符。 这种幺正变换不改变态矢内积和力学量平均 值，不改变算符之间的对易关系，因此不改 变物理内容，两种图像等价。 假设力学量算符不显含t，即 利用(1.9)式，有15我们有利用(1.7)式，即16总之，在Heisenberg图像中，态矢不随时间 演化，而力学量算符是随时间演化的，其演 化的

6、方式遵守Heisenberg方程。于是，我们得到在Heisenberg图像下，力学 量算符随时间演化的Heisenberg方程。17当一个量子系统的Hamiltonian算符可以分解 成两部分：10.1.3 相互作用图像其主要部分 不含时间（通常是自由部分 ），而微扰部分 只对系统产生较小的影 响（通常是相互作用部分），这时就可以采 用相互作用图像。相互作用图像下的态矢和 算符（带上标I），可由Schrdinger图像下的 态矢和算符作如下幺正变换得到：18其中的幺正变换算符 是由Hamiltonian 算符的主要部分来定义的时间演化算符，它 同样满足前面给出的演化算符的一切性质。 由(1.1

7、3)式中的第一式有19如果Hamiltonian算符的主要部分和微扰部 分对易，即有则相互作用图像下的态矢又可以表达为20利用(1.13)(1.15)式以及Schrdinger方程不难验证，在相互作用图像下，态矢和算符 分别满足以下方程（算符不显含时间）：由定义(1.13) ，相互作用图像下Hamiltonian 算符的微扰项与自由项分别为21因此，在相互作用图像下，态矢和算符都随 时间演化，其中态矢的演化遵从Schrdinger 方程，且由Hamiltonian算符中的相互作用项 （微扰项）推动；算符的演化遵从Heisenberg 方程，且由Hamiltonian算符中的自由项推动22以上三

8、种图像是对同一物理内容的不同描述 方式，在物理本质上是相互等价的。例如， 在三种图像中，算符之间的对易关系不会变 ，算符的平均值不会变，态矢之间的内积不 会变，测不准关系不会变，等等。如果对未 微扰系统（ ）已经有充分了解，加 上微扰 之后，取相互作用图像是合适的， 此时算符的运动方程由未微扰系统的 Heisenberg方程来描述，它的解是熟悉的、已 知的，而态矢量的运动方程只含一个影响较 小的微扰算符，便于近似求解。2310.2 辐射场与原子的相互作用10.2.1 Schrdinger图像下的Hamiltonian算符EbEa n|b|a (n+1)单模辐射场与二能级原子构成的系统考虑由光场

9、和原子共同组成的系统，其中原 子是二能级的，上下能级本征态分别是|a和 |b，分别对应能量本征值Ea=a和Eb=b 。24上下能级的本征态矢量|a和|b满足正交归一 和完备性关系，例如= =1, = =0。在以|a和|b作为基矢量的表象下 ， |a=1|a+0 |b，|b= 0|a+1 |b。将一个 矢量用基矢量展开时，展开系数即是该矢量 的坐标，由坐标构成的列矩阵，就是矢量的 矩阵表示。 因此|a和|b在其自身表象下的 矩阵表示为251. 上升算符和下降算符定义上升算符 和下降算符 如下：26即上升算符 把下能级本征态|b变为上能级 本征态|a ，下降算符 则把上能级本征态|a 变为下能级本

10、征态|b 。显然上升算符和下降 算符互为复共轭转置，即互为厄米共轭。利用 和态矢的正 交归一性，易证27在原子的量子力学状态|=Ca|a+Cb|b下， 上升算符和下降算符的平均值与原子的密度 矩阵元对应(书上pp. 106-107)：2. 系统的Hamiltonian算符由单模光场和二能级原子组成的系统，其总的 Hamiltonian算符包括自由光场的贡献(带下标f) 、纯原子的贡献(带下标a)，以及光场与原子之 间的相互作用的贡献(带下标af，相互作用采用 电偶极矩近似)，即有假设单模光场的频率为，二能级原子上 下能级本征态分别是|a和|b，分别对应能 量本征值Ea=a和Eb=b，则有29其

11、中原子的Hamiltonian算符在它自身的表 象下，还可以表达为30显然有以下本征方程考虑到原子的固有电偶极矩(平均)为零，即故光场与原子之间相互作用项 对应的矩阵为31即其中定义光场与原子之间的耦合系数g为32于是33于是相互作用项又可以表达成考虑到上升算符和下降算符满足即34在上面相互作用包含的四项中 表示原子从上能级跃迁到下能级， 同时吸收光场的一个光子； 表示原子从下能级跃迁到上能级， 同时吸收光场的一个光子； 表示原子从上能级跃迁到下能级， 同时光场增加一个光子； 表示原子从下能级跃迁到上能级， 同时光场增加一个光子。35我们考虑的是由光场和原子构成的孤立系 统，无外界作用，为了满

12、足能量守恒，相 互作用项只能取为：综上所述，在全量子化理论下，由光场和 原子构成的系统的总能量算符为3610.2.2 相互作用图像下的相互作用能在上面得到的由光场和原子构成的系统的总 哈密顿算符中，前两项对应系统的自由项（ 定态哈密顿算符），第三项对应相互作用项 （微扰项），即有37因此，采用相互作用图象时，变换算符为前面已经讲过，相互作用图象下的态矢和算 符可由(1.13)式得到38我们考虑的系统其状态由光场状态和原子状 态共同决定（光场状态用单模光子数态|n描 述，原子状态用上下能级本征态|a和|b描 述）。态矢对应概率振幅，根据同时发生事 件的概率相乘原理，可以用|a, n |a|n表

13、示原子处于上能级而光场光子数为n的本征 态，而用|b, n+1 |b|n+1表示原子处于下 能级而光场光子数为(n+1)的本征态，显然39其中展开系数Ca, n (t)和Cb, n+1(t)假定为时间的 缓变函数。相互作用图像下的相互作用能为在相互作用图像下，利用系统定态哈密顿算 符 的两个本征态|a, n和|b, n+1，可把 系统的一般态矢表示为40把(2.16)式代入(2.19)式，可得书上p.188的 (10.2.29)式(作业：由(10.2.22)式推出证明 (10.2.29)式），即下面的(2.20)式其中，0为二能级原子的共振跃迁频率：为便于推导，可对(2.19)的第二式取它的原

14、始 表达式，再去掉不满足能量守恒的项。 4110.3 原子发射和吸收的跃迁几率EbEan|b|a(n+1)单模辐射场与二能级原子构成的系统 0=(Ea-Eb)/= a-b|n|n+142对于由单模辐射场与一个二能级原子构成 的相互作用系统，上节里，我们已经在相 互作用图像下，给出了系统态矢的表达式 (2.18)和系统Hamiltonian算符中的相互作 用项表达式(2.20) ，即有（假定光场的初 始光子数为n或者(n+1)）10.3.1 系统状态随时间演化的方程43在相互作用图像下，系统态矢随时间的演 化，是由系统总能量算符中的相互作用项 推动的，即有以下方程将(2.18)、(2.20)和(

15、2.21)式代入上式，再利 用定态能量算符本征态的正交归一关系，可 以求得（书上p.189方程(10.3.5)和(10.3.6)） 。44上面的方程，就是系统处于态|a, n和|b, n+1 的几率振幅随时间变化的方程。 10.3.2 状态演化方程的几种解使用迭代法求出Ca, n (t)和Cb, n+1(t)的各阶近似 解，也可以求出它们的强信号解，从而确定 系统处于态|a, n和|b, n+1上的几率。451. 受激吸收几率 假定系统在初始t=0时刻处在|b, n+1 的状态即初始时刻系统中的原子处于下能级而光场 有(n+1)个光子。在t0时刻，由于光场与原 子之间的相互作用，原子有一定的几率跃迁 到上能级而光场相应减少一个光子，即代表 该过程的几率振幅Ca, n (t)0 for t0.46为了具体地求出t0时的几率振幅Ca, n (t)，对 (3.2)式的第一式积分，取一阶微扰近似，有系统从|b, n+1 态跃迁到