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1、L/O/G/O第四章 系统统模型化原理4-1 系统统模型化概述 模型是对实体的特征及其变化规律的一种表征或者抽象。 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。一、模型的定义义二、模型的分类类物理模型：水箱中的舰舰艇、风风洞中的飞飞机符号模型：地图图、电电路图图、分子结结构图图数学模型: 对对于一个现实对现实对 象，为为了一个特定目的,作出 必要的简简化假设设，根据对对象的内在规规律，运用适当的数 学工具，得到的一个数学结结构。 数学建模与其说说是一门门技术术，不如说说是一门艺术门艺术 。技术术大致有章可循，艺术艺术 无法归纳归纳 成普遍适用的准则则。想象力洞察力判断力什么是马马尔科夫链链例1
2、 人口转转移模型 居民流动权动权 重有向图图532141/21/81/41/41/31/61/16 3/43/81/161/163/101/41/4 1/101/22/104/10随机矩阵阵：条件概率：pij=p(j|i)，在给给定起始状态态 i的条件下，下一步出现现j状态态的概率。图示模型镇5镇1镇2镇3镇4镇1 - 2 -3 -镇1 -镇2 -4 -5 -镇1 -3 -4 -5 -2 -3 -4 -第1年第2年第3年第4年第n年该该模型可用于计计算事件的未来状态态。马尔可夫链：传递概率矩阵（亦称随机矩阵）的每行各元 素之和为1。晴天 阴天 下雨晴天 0.50 0.25 0.25阴天 0.3
3、75 0.25 0.375下雨 0 0 1一类时间、状态均为离散的动态随机系统，从一时期到下时期的状态按一定概率转移；下时期状态只取决于本时期状态和转移概率。 马马尔可夫过过程马尔可夫性质：马尔可夫链是随机变量X1, X2, X3, 的一个数列。如果Xn+1对于过去状态的条件概 率分布仅是Xn的一个函数，则P(Xn+1=xX0,X1,X2,，Xn)=P(Xn+1=xXn)例4-2 人的健康状态转变 的马尔可夫模型若某人投保时时健康，问问10年后他仍处处于健康状态态的概率。人的健康状况分为为健康和疾病两种状态态，设对设对 特定年龄龄段的人， 今年健康、明年保持健康状态态的概率为为0.8，而今年患
4、病、明年转转 为为健康状态态的概率为为0.7。人的健康状态态随着时间时间 的推移会随机的发发生转变转变 。保险险公司要对对 投保人未来的健康状态态作出估计计，以制定保险险金和理赔赔金的数 额额。例4-3 莱氏(Leslie)人口模型年龄分组：假设女性人口按年龄分为 0,2,(n-1),n各组。符号表示：令Fi(t)表示t时刻第i年龄组即 i,(i+1)区间的女性人口，则人口的年龄分 布向量F(t) = F0(t), F1(t), , Fn-1(t)T。 生存率：设pi为生存率，则Fi+1(t+) = piFi(t)。 生育率：令mi表示每个i年龄组的人在年内的生育率， 则在t+时刻新婴孩数为：
5、四个假设莱氏矩阵阵 Mk = 0,1,2, 一般形式： 练习练习 预测预测 生物种群数2030454060608080120（a）（b）（c）动动物种群直方图图设年后，F2全部死亡，F0和F1分别有1/4死亡，生育率m0=0, m1=1, m2=2。设某一时刻年龄段F0、F1、F2的数量分别为80、40、20，试求年、2 年后该生物种群按年龄分布的向量。 莱氏矩阵M= F()= F(2)=F0F1F24-2 常用建模方法 主要用于变量不多（23个）而信息也不充分的条 件下分析变量之间的定性关系。图解法 “理论”导向。 首先根据某种假设选择 一种模型，若所收集到的数 据说明假设基本合理，则再进一
6、步确定模型参数。拟合法 在研究系统运行机理的基础上提出假设，然后构建 模型。机理法在市场场供求规规律和市场竞场竞 争压压力的作用下，商品价格背离 均衡点最终终可能要向均衡点靠拢拢，达到所谓谓的市场场均衡。 但是，有很多商品价格背离均衡点，却并不向均衡点靠 拢拢。例4-4 市场经济场经济 中的蛛网模型图 解 法现 象图 解 法问 题l 建立一个简化的数学模型描述这种现象。l 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定。l 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定。OSDAC MBE需求曲线线D与供应应曲线线S （稳稳定情况）价格p商品量qq1p1q2p2q3图 解 法供给关系：S曲线，增函数 需求
7、关系：D曲线，减函数M：平衡点(q0, p0)q1-p1-q2-p2-, qk-q0, pk-p0，A-B-C-M，稳定图 解 法DDSSt 1Q1P1t2Q2P2t3Q3P3(1)收敛型蛛网： 需求曲线的斜率绝对值kD供给曲线的斜率绝对值t 1t2Q1Q2P1P2(3)封闭型蛛网：需求曲线斜率绝对值=供给曲线的斜率绝对值PtP0图 解 法结果解释商品数量减少1单位,价格上涨增量，即kD价格上涨1单位,(下时段)供应的增量，即1/kS 消费者对需求的敏感程度，小, 有利于经济稳定 生产者对价格的敏感程度，小, 有利于经济稳定kD kS 1 经济稳定蛛网理论:考察价格波动对下一周期生产的影响，及
8、由此产生的供求均衡变动情况，反映了市场价格与产量周期性波动规律。这种用需求曲线和供给曲线分析市场经济稳定性的图解法，称为蛛网模型。1. 使尽量小，如=0需求曲线变为水平供应曲线变为竖直2. 使尽量小，如=0以行政手段控制商品价格不变靠经济实力控制商品数量不变qp0p0SDqp0q0SD图 解 法经济经济 不稳稳定时时政府的干预办预办 法 准线性型 指数型 S型 双指数型O tx准线性型曲线O tx指数型曲线O tlogx（b）（a）OtxS型曲线LL/2L/（1+b）Otx双指数型曲线拟 合 法（一）趋势趋势 曲线线按照现有趋势去预测未来是系统分析中最常用的方 式。（二）最小二乘法回归归方程
9、： 设令解得有a和b，即可写出回归归方程。拟 合 法其中X为自变量的观察值， 为因变量的拟合值。例4-5 使用最小二乘法的线线性回归归X 大学毕业后工作年数Y 年薪（1000）3308579641372336643115921901201683预测有10年工作经验的大学毕业生的年薪为多少？拟 合 法用方程 表示工作年数和年薪之间的关系。以上数据a=23.6, b=3.5预测有10年工作经验的大学毕业生的年薪为 58.6K。多元回归归：多项项式回归归：定义新变量：可以转换为线性多元回归。拟 合 法绘数据图。X和Y看上去具有线性联系吗？使用最小二乘法，求由学生的期中成绩预测学生的期末成绩的方程式。
10、预测期中成绩为86分的学生的期末成绩。 X（期中考试成绩）Y（期末考试成绩）728450638177747894908675594983796577335288748190拟 合 法下表给给出学生的期中和期末考试试成绩绩。例4-6 城市人口和“生活节节奏”的关系城 市人口数PlogP平均时间T(s)平均速度V(英尺/s)1341 9485.5310.44.8121 092 7596.048.55.8835 4913.7415.13.31449 8754.6910.24.9051 340 0006.138.95.6263652.5618.12.7672 5003.4022.02.27878 20
11、04.8913.03.859867 0235.949.65.211014 0004.1513.53.70拟 合 法对于非多项式趋势，如何拟合？线线性转换转换 函数常在“幂阶幂阶 梯”中选择选择 ：用最小二乘法等方法确定参数。第五列：V=50/T 为了能够用直线拟合，进行转换：PlogP直线方程形式：V=b(logP)+a 拟 合 法例4-7 最短停车车距离模型问题：汽车行驶前方出现突发事件紧急刹车；车速越快，停车距离越长；停车距离与车速之间是什么关系？(线性、)停车车距离：从司机决定刹车车到车车完全停止这这段时间时间 内汽车车行驶驶的距离。机 理 法问题问题 分析停车距离: 反应距离 + 刹车
12、距离反应距离: “司机决定刹车到制动器开始起作用”的距离 刹车距离: “制动器开始起作用到汽车完全停止”的距离反应应 距离反应时间应时间 车车速司机状况 制动动系统统灵活性刹车车 距离制动动器作用力 车车重、车车速 道路、气候最大制动动力与车质车质 量成正比, 使汽车车作匀减速运动动机 理 法车速v (英里/小时)反应距离dr (英尺)刹车距离dB (英尺)停车距离D (英尺)3030457550501251757070245315实验实验 数据：D 与v不是线线性关系机 理 法D = dr(反应距离 )+dB(刹车距离 )2112O刹车距离和车 速的转换关系曲线经验经验 模型幂幂函数形式为为 ：最短停车车距离模型为为： dr = v(英尺)经经转换转换 ：logvlogdB机 理 法4-3 系统统模型体系
