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1、回顾 曲边梯形求面积的问题ab xyoab xyo直观理解：ab xyo应用方向：平面图形的面积；体积；侧面积；平面曲 线的弧长；功；水压力；引力和平均值等将y作为自变量给出面积公式 ddycxx=(y)Ay定积分的应用一、平面图形的面积面积微元:(1) 由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), 直线 x=a, x=b (ab)及x轴所围成的平面图形的面积yo面积若f (x)有正有负,则曲边梯形面积为xyoabxyoab面积元素:(2) 由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线 x=a, x=b (ab) 所围成的平面图形的面积:cxyoab一般地，dcxyo及y轴轴围成
2、的平面图形的面积为 xyodc一般地，及y轴轴围成的平面图形的面积为： dcxyodcxyo一般地，解两曲线的交点面积元素选 为积分变量解两曲线的交点选 为积分变量于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式解两曲线的交点选 为积分变量如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程解2: 椭圆的参数方程面积元素曲边扇形的面积极坐标系情形解由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积解利用对称性知如果一个立体不是旋转体，但却知道该立 体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积平行截面面积为已知的立体的体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做 旋转轴圆柱圆锥圆台旋转体的体积xyo旋转体的体积为由图形 aABb 绕 x轴旋转一周ABaby其平行截面面积解直线 方程为oxyab套筒法:体积微元:例 解 xy利用圆面积ba解例圆锥体积解 (1)例y2xao解体积元素为平面曲线弧长的概念弧长元素弧长直角坐标情形解所求弧长为解曲线弧为弧长参数方程情形解 星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长证根据椭圆的对称性知故原结论成立.曲线弧为弧长极坐标情形解解旋转体的侧面积xyo曲线弧为参数方程情形极坐标情形曲线弧为
