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1、大学物理电子教案(振动3)（二）简谐振动的合成1. 两同方向同频率的简谐振动的合成分振动 :x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2)合振动 : x = x1+ x2x =A cos( t+ )合振动是简谐振动, 其频率仍为，其中由矢量合成法X可得讨论：两种特殊情况(1)若两分振动同相 2 1=2k (k=0,1,2,)(2)若两分振动反相 2 1=(2k+1) (k=0,1,2,)如 A1=A2 , 则 A=0则 ，合振幅最大。则 ，合振幅最小。动画例：N个同方向同频率的简谐振动的合成用矢量合成法 多边形法则设它们的振幅都为 ，初位相依次相差一个 ， 其表达式为：作外接圆
2、，先求半经R及圆心角由等腰三角形可知圆心角，则由三角形外角等于不相邻内角之和，得2.两个同振动方向、不同频率的谐振动的合成Aro X12与 以不同的角速度旋转设两振动为它们之间的夹角为： 在x轴上的投影点运动不是谐振动。x2=A2cos(2t+2)x1=A1cos(1t+1)讨论一特例：设两振动为合振动：？ 由旋转矢量图可得：用oXA1r12t )(12A2rArx2=A1cos(2t+ )x1=A1cos(1t+ )A合振动的振幅且振幅A按余弦函数变化，变化范围：这种振幅出现加强和减弱现象称为拍 可见 改变 时, A就重复出现一次变化t212tx)2cos(12t2A1拍的周期T：T= 21
3、2拍的频率： T2112=)2cos(21+t合振动方程合振幅在单位时间内加强（或减弱）的次数称拍频。注意： （1）拍现象只在两分振动的频率相差不太大时才显出来。即：现象才明显（2）与合振动位移变化的频率是完全不同的演示：两音叉拍频附：谐振分析一个周期性振动可以分解为一系列频率分立 的简谐振动。例如：一“方波”可分解为基频、一次谐频、三次谐频、五次谐频 的迭加。LL+=5310xxxxxxot方波的分解otx1tx3 oxototx00tx5oto+5310xxxx3. 振动方向互相垂直、同频率的简谐振动的合成形状由 决定，大小与有关。直线正椭圆（或圆）直线正椭圆（或圆）椭圆方程顺时针逆时针动
4、画(5) 为任意值时，合振动的轨迹为一般椭圆 动画演示例1. 若求：（1）合振动的轨迹（2）已知求质点在任一位置所受的力 （2）求质点在任一位置所受的力 设两振动为)cos(11+=tA x 1 )(cos22+=tAy2一般情况很复杂, 下面介绍两种简单情况：（1）两频率相差很小 随 (21)t 不断地变化， 将从 0 /2 3/2 2合振动的轨迹：将依次从直线斜椭圆正椭圆斜椭圆直线.不停地变化下去演示4. 振动方向互相垂直、不同频率的简谐振动的合成称为李萨如图形。由切点数之比和已知频率可测未知频率。动画可以证明：两振动的频率之比 成整数比时，合成轨迹稳定。（2）两频率成简单的整数比图形形状
5、还与位相差有关动画回顾 简谐振动的合成1. 同方向、同频率的简谐振动合成合振动：2. 同方向、不同频率的简谐振动的合成拍频3. 振动方向互相垂直、同频率的简谐振动的合成形状由 决定，大小与有关。直线正椭圆（或圆）直线正椭圆（或圆）椭圆方程右旋左旋(5) 为任意值时，合振动的轨迹为一般椭圆 原长补充练习1.将天平盘子挂在一个倔强系数为 k 的弹簧下端，有一质量为 m 的物体，从离盘 高为 h 处自由下落至盘中后不再跳离盘子， 因此，盘子和物体一起开始运动 （盘和弹簧 的质量忽略）。问：（1）是否简谐振动？ 解：研究对象：盘、弹簧、物体构成的系统设物体 m 落入盘中后，系统运动至 0 处 所受合力
6、为零（0为平衡位置）。 建立坐标如左图：是简谐振动！系统在任意x处所受的合力为：动画 解：根据kmgx=0gh2v0=TA（2）求振动时的周期 T 振幅 A 初位相 及振动方程。原长 =mgkh kmgx21+=)2cos(1 mgkhtgtmk+？kmgx=0gh2v0=补充练习2. 一质点作周期为T的简谐运动，质点由平衡位置正方向运动到最大位移一半 处所需的最短时间为（ ）。 (A）T/2 （B）T/4 (C)T/8 （D）T/12解 用矢量图法求解 A/2Aox补充练习3. 一弹簧振子作简谐振动，当其偏 离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的（ ）。(A）7/16
7、(B）9/16 (C）11/16(D）13/16 (E）15/16 解补充练习4. 一质点作简谐振动，速度的最大值 ，振幅A=2 cm。若令速度具有 正最大值的那一时刻为t=0，求振动表达式。解t=0ox/cm补充练习5 用余弦函数描述一谐振子的运动，若其速度-时间关系曲线如图所示，求运 动的初位相。解t/s -vm-0.5vmo由矢量图得ot=0t/s -vm-0.5vmo振动小测验 1.什么情况下,简谐振动的速度和加速度是同号的？什么情 况下是异号的？加速度为正值时,振动质点一定是加快地 运动吗？反之,加速度为负值时,肯定是减慢地运动吗？ 2.如图为一光滑圆弧形轨道,半径为R,在圆心处放一小球A, 圆心竖直下方C点旁边放一个与A完全相同的小球B,B、C 两点非常靠近,现让它们同时运动,问哪个小球先到达C点？ 为什么？RABC 3.若一弹簧振子其振幅为A 、周期为T,则振子从平衡位置 运动到A/2处所需最短时间为多少？(1)问小球的平衡位置距离A端为多少？ (2)使小球沿弹簧长度方向作一微小位移后放手，小球 将作振动，这一振动是否是简谐振动？振动周期是多 少？4.如图所示,两轻弹簧与小球串联在一直线上,将两弹簧 拉长后系在固定点A、B之间,整个系统放在光滑水平面 上,设弹簧的原长为 ，劲度系数为 、 ，A、B 之间距离为，小球的质量为m。、ABL本次作业11T11， T12
