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1、例1 用综合法证明：设平行四边形一对角线的一端 至一非邻边的中点连一直线，自另一端至该边对边 的中点也连一直线，则所连两直线必三等分另一对 角线. 已知：在平行四边形ABCD中,E,F 各是BC,AD两边中点，AE、CF交 BD于G,H. 求证：BG =GH= HD例2 用分析法证明：若圆内接四边形的对角线互相 垂直，则圆心至任一边的距离等于该对边的一半.已知：四边形ABCD内接于圆O, AC与BD交于P, ACBD，求证：OE=1/2CD.OEAB于E. 例3 已知ABCD是圆的内接四边形, AB=2，CD=1，求证：例4 已知ABC中,a=2b,p=a+b+c, 求证：1/6p最短边1/4
2、p.例5 已知RtABC中，AB=AC，A=90，BD=2DC，BMAD 交AC于M. 求证：AM=MC.例6 ABC中,AB=AC ,AMBC. BD平分ABC, DEBD,DF BC. 求证：MF=1/4BE.九、共线点的证明一、常用思想方法3.证邻角互补； 4.证对顶角相等；2.证点在同一定直线上； 证点在一直线的同一平行线上；5.证任两点连线段与某直线所成有向角相等；1.同一法证明两点连线过第三点；6.梅涅劳定理的运用； 7.立体几何中可用：三点在二相交平面上 ，从而在二平面交线上.例题赏析例1 在梯形ABCD中，AC 交BD于F，M,N为AD,BC 中点. 证明：M,F,N共线.例2
3、 外接圆周上任一点 在三边（所在直线）上的 射影共线.(西孟孙线) 如图，ABC外接圆周上任 一点P在BC，CA，AB所在 直线上的射影分别为X，Y ，Z. 证明： X，Y，Z共线.例3 如图所示，令圆BEF 与圆DCE交于点P, 则点P 在BC,CA,AB,DE四线上的 射影点X,Y,Z,W共线.例4 梅涅劳定理 ABC三边所在直线BC,CA,AB 被一直线分别截于X,Y,Z，则有（有向线段）约定：若XY/AB，则例5 梅涅劳定理之逆设在ABC三边BC,CA,AB上各取则X,Y,Z共线.一点X,Y,Z满足例6 设四边形ABCD两 双对边相交于EF，则 AC,BD,EF的三中点 X,Y,Z共线
4、.例7 三外角平分线与对边 交点共线.如图，ABC的三外角平 分线分别与对边的交点为 X,Y,Z,证明：X,Y,Z共线.例8 德萨格定理ABC与ABC彼此对应 ，使对应顶点连线交于一 点，那么三组对应边的交 点共线.德萨格定理之逆ABC与ABC彼此对应，若三 组对应边的交点共线，则对应顶点 连线交于一点或平行.十、共点线的证明一、常用思想方法：2.证二线交点在第三线上； 3.证二线交点与某一点的连线是第三线； 4.证二线交点与第三线上某两点共线； 5.利用已知的共点线定理；1.各线都过某特殊点；二、例题赏析例1 四边形ABCD中，A+C=180，证 明：A,B,C,D共圆.例2 证明四边形AB
5、CD的两双对边中点的连线 EG,FH和对角线中点连线MN共点.例3 如图，以ABC三边向外作正，则 AA,BB,CC共点.(费马点)三、锡瓦定理及其应用1.锡瓦定理（有向线段） ABC三顶点与一点O所连直线依 次交对边所在直线于点X,Y,Z，则逆定理：ABC三边BC,CA ,AB上各取一点X,Y,Z，使则AX,BY,CZ共点或平行.2.应用例4 ABC中，ADBC，P为AD上一点， BP,CP分别交AC,AB 于M,N. 证明：AD平分 MDN或其外角.例5 证明：三高线共点例6 证明：三顶点与对边内切圆切点连线共点.十六、解三角形 一、符号 ABC三边a，b，c；三内角A，B，C；三高ha，
6、hb，hc；三中线ma，mb，mc； 三内角平分线ta，tb，tc； 三外角平分线ta，tb，tc； 内切圆半径 r；外接圆半径 R；面积 S；二、基本定理1. 正弦定理2. 余弦定理三、重要计算公式1. 边a上的中线为2. 边a上的内角平分线为3. 面积为5. 外接圆半径为4. 内切圆半径为6. 外角平分线为7. 圆内接四边形面积3. 边a上的高线为四. 例题赏析例1 已知ABC及其底边BC上一点D，求证：（斯特瓦定理）例2 证明：平行四边形ABCD中，例3 任意四边形ABCD对角线中 点分别为M，N， 证明：例4 A，B为直线 l 同侧的二点. 试在 l 上找一点P使得 最短.例5 O1，
7、O2相切于点S. 二割线 ABCD 于S.求证 ：十六、解三角形 一、符号 ABC三边a，b，c；三内角A，B，C；三高ha，hb，hc；三中线ma，mb，mc； 三内角平分线ta，tb，tc； 三外角平分线ta，tb，tc； 内切圆半径 r；外接圆半径 R；面积 S；二、基本定理 1. 正弦定理2. 余弦定理三、重要计算公式1. 边a上的中线为2. 边a上的内角平分线为3. 面积为5. 外接圆半径为4. 内切圆半径为6. 外角平分线为7. 圆内接四边形面积3. 边a上的高线为四. 例题赏析例1 已知ABC及其底边BC上一点D，求证：（斯特瓦定理）例2 证明：平行四边形ABCD中，例3 任意四
8、边形ABCD对角线中 点分别为M，N， 证明：例4 A，B为直线 l 同侧的二点. 试在 l 上找一点P使得 最短.例5 O1，O2相切于点S. 二割线 ABCD 于S.求证 ：十七、点的轨迹（一） 一、点的轨迹的概念 形象描述为 ：动点的运动痕迹.精确定义为 ：满足条件C的一切点所构成的图形F， 称为由条件C决定的轨迹. 包含两方面 ：.满足条件C的点一定在F上；（不漏，完备性） .在F上的点一定满足条件C；（不杂，纯粹性）1. +；二、轨迹证明的两方面的方式2. 的逆否命题：（不在F上的点，一定不满足 条件C）+；3. +的逆否命题（不满足条件C的点一定不 在F上）；4. 的逆否命题+的逆
9、否命题.三、轨迹命题的三种类型及其证明步骤1.第一类型轨迹命题： 给出条件；刻画形状；确定位置（大小）；2.第二类型轨迹命题： 给出条件；刻画形状；不确定位置（大小）；3.第三类型轨迹命题： 只给出条件；不刻画形状；不确定位置（大小）；四、基本轨迹定理1、线段的中垂线；2、交角的角平分线；3、正中平行线；4、双轨平行线；5、圆；6、双半圆；7、双弓形弧；五、例题赏析例2 证明直线l外一定点P到l 上各点的连线段的中点的 轨迹是平行于l的直线.例3 求定圆的与已知直线平 行的平行弦中点轨迹.例4 已知RtABC的斜边 固定， 求证：此类重 心的轨迹是以1/6AB为 半径的双半圆.例6 已知平行四
10、边形ABCD中BC边固定，且CD=l. 求证：此类平行四边形的中心的轨迹是双半圆.例7 求到两定点所连线段的夹角为定值的点的轨迹.例8 已知两定点A，B，动点M满足AM/BM=m/n. 求证：点M的轨迹是一个圆(Apollomins圆).十八、点的轨迹（二） 轨迹探求法： 1. 描点（至少三点） ：讨论共线与否， 若共线，则轨迹可能是直线、射线、线段； 若不共线，则可能是，圆、 弧. 2. 定端点个数： 直线，无端点；线段，2个端点；射线：1个端点；3. 定位：圆，无端点；弧，两个.直线：找一点及方向，或两点； 射线：找一端点及方向； 线段：找二端点；圆：找圆心、半径或直径； 圆弧：二端点，内
11、接角，找圆心、半径或直径；例4 已知RtABC的斜边 固定， 求证：此类重 心的轨迹是以1/6AB为 半径的双半圆.例6 已知平行四边形ABCD中BC边固定，且CD=l. 求证：此类平行四边形的中心的轨迹是双半圆.例7 求到二定点的距离平方和为常数的点的轨迹.决定的P的轨迹称为定和幂圆.设二定点为A，B，线段AB长为a；k为常数.例8 设二定点为A，B，线段AB长为a；k为常数. 决定的P点的轨迹.求由定义：任意一点P和圆心O的连线交圆于两点A,B.与 注：1.称为点P对圆O的幂.的内积，2.点在圆内部点P对圆O的幂为负数；例9 求对二定圆圆O1与圆O2的幂相等的点的轨迹.点在圆上点P对圆O的幂为零； 点在圆外部点P对圆O的幂为正数.定义：若两圆在交点处的切线相互垂直， 则称两圆正交. 注：两圆正交交点与两圆心的连线段垂直.例10 如图，求通过定点A且与定圆O正交的圆的 圆心的轨迹.例11 已知两定点A，B，动点M满足AM/BM=m/n. 求证：点M的轨迹是一个圆(Apollomins圆). 例题赏析： 例1 已知定直线 l 外一定 圆O上的定点A. 求作过点 A且与圆O及直线 l 相切的 圆.例1 一平面截空间四边形ABCD各 边分别于E，F，G，H. 证明：例3 如图，PA，PB，PC两 两垂直，证明：P在平面 ABC上的射影H必为ABC 的垂心，且ABC为锐角.
