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1、积分变换 第一章 付里叶变换第二章 拉普拉斯变换1.1 付氏积分 1.2 付氏变换 1.3 付氏变换的公式和性质 1.4 卷积与相关函数2.1 拉普拉斯变换的概念 2.2 拉氏变换的基本公式和性质 2.3 拉氏逆变换 2.4 拉氏变换的应用(一)付氏级数称实系数R上的实值函数 f（t） 在闭区间a,b上满足狄利克莱（DirichL et）条件，如果它满足条 件： 在a,b上或者连续，或者只有有限个第一 类间断点； f（t）在a,b上只有有限个极值点。1.1 付氏积分第一章 付里叶变换从T为周期的周期函数fT(t)，如果在 上满足狄利克雷条件，那么在 上fT(t)可以展成付氏级数，在fT(t)的
2、连续点处，级数的三角形成为其中 称为频率，频率对应的周期T与fT(t)的周期相同，因而称为基波频率，n称为fT(t)的n次谐波频率。(二)付氏级数的复指数形式在fT(t)的间断点t0处，式(1.1.1)的左端代之为即(三)付氏积分任何一个非周期函数f (t)都可以看成由某个周 期函数fT(t)当T+时转化而来的。这个公式称为函数f (t)的付里叶积分公式付氏积分定理 若f (t)在(-，+)上满足下列条件：2则积发 存在,并且在f (t)的连续点处1在任一有限区间满足狄利克雷条件；而在f (t)的间断点t0处，应以代替该式左端的f (t)。注 非周期函数满足付氏积分定理的条件1 ，才能保证函数
3、在任意有限区间上能展为付氏级数 。满足付氏积分定理的第2条,才能保证 存在。1.2 付氏变换(一)定义1.1.1 设f (t)和F()分别是定义在 R上的实值和复值函数，称它们是一组付里叶变换对，如果成立并称F()为f (t)的象函数或付里叶变换，记为 Ff(t)；称f (t)为F()的象原函数或付里叶逆变换， 记为F-1F()例 1 求矩形脉冲函数 的付氏变换及其积分表达式。tf (t)(二)积分变换的运用 例 求微分积分方程的解, 其中t+, a,b,c均为常 数. 根据傅氏变换的微分性质和积分 性质, 且记 F x(t)=X(w), F h(t)=H(w). 在方程两边取傅氏变换, 可得
4、 2.2 单位脉冲函数及其傅氏变换在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.如果我们形式地计算这个导数, 则得这表明在通常意义下的函数
5、类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记成d-函数:有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量 , 例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技 术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的 量那样, 以统一的方式加以解决.de(t)1/eeO（在极限与积分可交换意义下）工程上将d-函数称为单位脉冲函数。可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数的强度.tOd (t)1d-函数有性质：可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分都有明确意义。(三)函数及
6、其付氏变换1.函数的定义(1)(狄拉克)满足一列两个条件的函数称为函数。(2)普通函数序列极限形式的定义其中(3)广义函数形式的定义若f (t)为无穷次可做函数，则d-函数的傅氏变换为:于是d (t)与常数1构成了一傅氏变换对.证法2：若F(w)=2pd (w), 由傅氏逆变换可得例1 证明：1和2pd (w)构成傅氏变换对.证法1 ：3.函数在积分变换中的作用(1)有了函数，对于点源和脉冲量的研究就 能够象处理连续分布的量那样，以统一的方式来 对待。(2)尽管函数本身没有普通意义下的函数值 ，但它与任何一个无穷次可做的函数的乘积在(- ,+)上的积分都有确定的值。(3)函数的付氏变换是广义付
7、氏变换，许多 重要的函数，如常函数、符号函数、单位阶跃函 数、正弦函数、余弦函数等是不满足付氏积分定 理中的绝对可积条件的(即 不存在)，这些 函数的广义付氏变换都可以利用函数而得到。由上面两个函数的变换可得这种频谱图称为离散频谱，也称为线状频谱(四)付氏变换的物理意义频谱1.非正弦的周期函数的频谱例4 求正弦函数f (t)=sinw0t的傅氏变换。tppw0w0Ow|F(w)| (一)常用函数付里叶变换公式 1.3 付氏变换的公式和性质例 5 证明：证：(二)尤拉公式及尤拉公式推出的几个公式 (三)付氏变换的性质 1线性性质。 设F = ，F = ，和 为常数，则b2位移性质 该性质在无线电
8、技术中也称为时移性质 。 3对称性质 若 ，则 4相似性质 若，则5象函数的位移性质 若 ，则 象函数的位移性质在无线电技术中也称为频移性质 。 6.翻转性质 若 ，则 7.微分性 质 若f 在 上连续或只有有限个可 去间断点,且当 时， ，则推论 若 （k=1,2,n）在 上连 续或只有有限个可去间断点，且 =0 ，k=0,1,2,(n-1), 则有 8.象函数的微分性质 若 ，则一般地，有若当 时， = ,则如果 ，则 9.积分性质其中 10.象函数的积分性质 若 ，则11.乘积定理 若 ， ，则 其中 ， 均为t的实函数， 、 分别 为、 的共轭函数。 12.能量积分 若 ，则 该等式又
9、称为巴塞瓦等式 。 13.卷积定理 设 ， 满足付氏积分定理中的条件， 且 ， ，则 1.4 卷积与相关函数一、卷积的意义若已知函数f1(t)，f2(t)，则积分称为函数f1(t)与f2(t)的卷积，记为f1(t) * f2(t)，即二、卷积的性质第二章 拉普拉斯变换 2.1 拉普拉斯变换的概念一、拉氏变换和拉氏逆变换的定义 设函数f(t)当 0时有定义，而且积分 （s是一个复参量），在s的某一域内收敛，则由此 积分决定的函数可写为 称 为 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）或 象函数，记为 ，即 又称 为 的拉普拉斯逆变换（简称为拉氏 逆变换）或象原函数，记 即二、拉氏变换的存在定理拉氏变换存在
10、定理 设函数f (t)满足下列条件：1当t0时，f (t)=0；2f (t)在t0的任一有限区间上分段连续，间断点的个数是有限个，且都是第一类间断点；3f (t)是指数级函数。则f (t)的拉氏变换在半平面Re(s)=c上一定存在，此时上式右端的积分绝对收敛而且一致收敛，同时在此半平面 内，F(s)是解析函数。关于拉氏变换存在定理，做如下的几点说明 ：(1)从物理应用观点来看，条件2、3都是 容易满足的。实用上所考察的物理过程，往往是 用时间函数来描述的，并且是从某一时刻开始， 因此可以选这时刻为t=0，在此以前情况则不加考 虑。例如sint，若要对它进行拉氏变换则应把它理 解为sintu(t
11、)。(2)工程技术中所遇到的函数大部分是存在拉 氏变换的。(3)如果f (t)为指数级函数，则其增长指数不唯一。三、关于拉氏变换的积分下限问题f (t)在t=0包含了脉冲函数，我们就必须区分 这个积分区间包括t=0这一点，还是不包括t=0这一点。假如包括，我们把积分下限记为0-；假如不包括，我们把积分下限记为0+，于是得出了不同的拉氏变换。记2.2 拉氏变换的基本公式和性质一、常用函数的拉氏变换公式 当m为正整数时，有 注函数具有如下的递推公式 当m是正整数时 ， (9)设 是0，+)上的周期为T的函数，即 则 的拉氏变换为 二、拉氏变换的性质 设 则有 (1) 线性性质（设、为常数） （2）
12、位移性质（设a为常数） （3）延迟性质 若t0时 ，则对任一非负实数 有 亦可写为 注 中的 意味着 （当 时） 只有此式成立时才能使用延迟性质，这一点容易被 忽略，因而造成错误，为了避免出现这种错误。故 将延迟性质写为(2.2.16)式的形式。 (4)微分性质 推论 = 特别地，当初值 时，有 (5)积分性质 推论 (6)象函数微分性质 一般地，有 (7)象函数积分性质 若积分 收敛，则 一般地，有 注由象函数的积分性质得 即 利用此式，可计算右端的广义积分。这是拉 氏变换的应用之一。 在上式中令s=0，如果 收敛， 存在，则有 (8)卷积定理 注付氏变换中的卷积定理包含两个公式，而 拉氏变
13、换中卷积定理只含一个公式。 (9)初值定理 若 存在，则 (10)终值定理 若 的所有奇点全在s平面的左半部，则 (11)相似性质（设a为正实数） 2.3 拉氏逆变换定理2.3.1 若函数f (t)满足拉氏变换存在定理中的条件。0为收敛坐标，则L -1F(s)由下式给出其中t为f(t)的连续点。如果t为f(t)的间断点，则改成：这里的积分路线是平行于虚轴的任一直线 Res=(0)称(2.3.1)式为复反演积分公式。2.4 拉氏变换的应用一、初值定理与终值定理在前面已经讲到，利用初值定理和终值 定理，可以求出 与 ，在这里是通 过 求得的，而不是通过 。设L f (t)=F(s)，则假设 的所有奇点都在S平面的左半部，即F(s)在Re(s)0解析。二、利用拉氏变换求定积分
