标量衍射理论

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1、第二章 标量衍射理论 光波是电磁波，其传播过程满足电磁波波动方程。 当遇到障碍物时，光波会发生衍射。 电磁波是矢量波，严格电磁场衍射理论必须考虑其 电场强度和磁场强度的矢量性。 一定条件下，可以不考虑电磁场矢量各个分量之间 的联系，电磁波矢量方程可以写为分量方程（标量 方程） 光波作为标量处理 标量衍射理论条件： （1）衍射孔径比光波长大得多; （2）观察点距离衍射孔足够的远。光波传播理论发展历史 1678年惠更斯提出“子波”概念惠更斯原理 1818年菲涅尔发展惠更斯原理，指出“子波”是 相干的，提出惠更斯-菲涅尔原理 1882年，基尔霍夫利用格林定理，通过求解电 磁场波动方程，导出严格的标量

2、衍射公式 基尔霍夫标量衍射理论。 基尔霍夫衍射理论出发点点光源发出的球 面波是光波传播的基元函数 空间任意一点电场或磁场分量在无源区满足的 标量波动方程， ,式中 为拉普拉斯算子。为电磁波传播速度。 波动方程为线性方程，满足该波动方程的基本 解的线性组合都是方程的解。 球面波和平面波都是波动方程的解。任何复杂 的光波都可以用球面波和平面波的组合表示，它 们的解也都满足波动方程。2.1 光波的数学描述2.1.1 光波场的复振幅 单色光波场： 写为复指数形式： 与空间位置有关的部分：U( P )称为光波场中P 点的复振幅。包涵了P 点 光振动的振幅和相位。它与时间无关。 利用复振幅表示的光振动：

3、P 点光强度： 2.1.2 球面波的复振幅 任何复杂光波场都可以看作许多点光源的集 合，它所发出的光波就是球面波的叠加。 当光波场为非相干场时，点光源互不相干， 它们发出的光波叠加为光强度叠加。当光波 场为相干场时，光场的叠加为光波复振幅的 叠加。 点光源发出的光波为球面波，研究球面波的 复振幅表示是非常重要的。球面波的复振幅 对于单色发散球面波当点光源位于坐标原点时：r为观察点到原点的距离： 会聚球面波： 若点光源位于空间任意一点 ，其球面 波复振幅形式不变，此时有坐标系几何示意图 光学中一般考虑的是某一给定平面的光场分布， 如衍射物平面和观察平面的光场分布。点光源光波场近似设光源位于 平面

4、， 观察面位于其中 ，r 可以写为：当x-y 平面上只考虑一个对S点张角不大的区域，有 ：点光源光波场近似 利用二项式展开，并略去高阶项，有称为傍轴近似 将上面 r 的表达式代入球面波复振幅表达式，则发 散的球面波在x-y 平面上的复振幅 说明：分母中 r 直接用z1替代，而指数项中 r 由于 波长极小， 很大，上式中第二项不能省 略点光源光波场相位因子和复振幅 X-y 平面上相位称为球面波的二次相位因子 其相位轨迹方程： 为同心圆环簇。 光源位于原点，且傍轴近似条件下的发散球面 波复振幅为2.1.3 平面波的复振幅 平面波也是光源最简单的一种形式。平面 波的特点是等相位面是平面。 在各向同性

5、介质中，等相面与传播方向垂直 ，各点的振幅为常数。 点光源发出的光波经透镜准直，或者把点光 源移到无穷远，可以近似获得平面波 平面波的复振幅 在确定的直角坐标系中，若平面波传播方向的方向余弦为则沿 方向传播的单色平面波， 点处产生 的复振幅可以表示为式中a 表示常数振幅， 方向余弦之间存在着下述 关系：平面波的复振幅平面波复振幅表达式可以写为：令x-y平面上的复振幅分布可以表示为：平面波等相线平面波等相位线方程 直线方程。 2.1.4 平面波空间频率 平面波的空间频率是信息光学中常用的基本物理量深入 理解这个概念的物理含义是很重要的 首先研究波矢量位于xz平面内的简单情况，考虑 平面波空间频率

6、 等相位线方程为 复振幅在xy平面上周期分布的空间周期，可以用相位差 的两相邻等相位线的间距X表示则有 x方向的空间频率用 表示单位 ： 1/mm 等相位线平行于y轴，可以认为沿y方向的空间周期 因此y方向的空间频率平面波空间频率 传播方向余弦为(cos,0)的单色平面波在x-y平面 上的复振幅分布可用x，y方向的空间频率 来表示： 由空间频率与传播方向余弦之间的对应关系，我 们可将上式看成传播方向余弦为的单色平面波。 任一传播方向的平面波 在传播方向余弦为的一般情况下，x-y平面上的等相 位线是一些平行斜线。 X-y平面上沿x方向和y方向的复振 幅分布都是周期变化的，其周期空 间X和Y分别为

7、 相应的空间频率分别为任一传播方向的平面波 空间频率 表示x-y平面上的复振幅分布 代表了一个传播方向余弦为 的单色平面波。 我们的不是某一个平面上而是整个空间光场分布，可以类似地定义沿z方向的空间频率 有 由 有注 意空间频率的概念同样可以描述其它物 理量如光强度的空间周期分布，但它们有 不同的物理含义。 对于非相干照明的平面上的光强分布 ，也可以通过傅里叶分析利用空间频率来 描述。但空间频率 不再和单色平面 波有关， 也就不再对应沿某 一方向传播的平面波 复振幅分布的空间频谱 表示在x-y平面上光场分布，在相干照明下， 利用傅里叶变换，复振幅分布 可表示成式中 是 的频谱。上式表明， 可以

8、看 做无数指数基元 叠加而成的，叠加时 任一确定频率的指数基元权重是 ，这些指 数基元在物平面上的取向和周期随 不同而各不 相同，也就是说，物函数 可以分解为无穷多 个不同频率 、不同权重 的指数基元。复振幅分布的空间频谱指数基元 代表一个传播方向余弦为的单位振幅的单色平面波 表示物函数 可以看做不同方向传播的单色平面 波分量的线性叠加。平面波分量的传播方向与空间频率相对应，其相应的振幅和常数相位取决于频谱。 平面波的角谱 用方向余弦表示，有（傅里叶变换）为平面波的角谱。引入角谱的概 念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义2.2 基尔霍夫衍射理论1. 惠更斯-菲涅尔原理光场中任一给定曲面上的各

9、面元可以看做子波 源，这些子波源是相干的，则在波继续传播的空间 上任一点处的光振动，都可看做是这些子波源各自 发出的子波在该点相干叠加的结果。其数学表达式为： 主要问题：1 该理论缺乏严格的理论依据。 2常数c中应包含exp(-j/2)因子，惠更斯-菲 涅尔原理无法解释。 3K()的具体函数形式难以确定。衍射理论所要解决的问题光场中任一点Q的复振 幅能否用光场中其它各点 的复振幅表示出来？例如能否由如图孔径 平面上的场分布计算孔径 后面任一点Q处的复振幅？ 这是一个根据边界值求解 波动方程的问题。Q入射光2. 基尔霍夫衍射理论基尔霍夫利用数学工具格林定理，通过 假定衍射屏的边界条件，求解波动方

10、程， 导出了更严格的衍射公式 ，从而把惠更斯 菲涅耳原理置于更为可靠的波动理论基 础上 。基尔霍夫衍射理论基尔霍夫衍射公式QPnP0r0r P0点的单色点光源射衍射屏 P为孔径平面上任一点，Q为孔径 后方的观察点。 r和r0分别是Q和P0到P的距离， 二者均比波长大得多。 n表示衍射屏面法线的正方向。在单色点源照明下，平面孔径 后方光场中任一点Q的复振幅为 基尔霍夫衍射公式孔径平面上的复振幅分布是球面波，有 代入基尔霍夫衍射公式，有其中：若 并代入衍射公式，该公式与惠更斯-菲涅 尔衍射公式完全相同。基尔霍夫衍射公式说明：上述基尔霍夫衍射公式仅仅是单个球面波照明 孔径的情况作出的讨论，但衍射公式

11、却适用于更普 遍的任意单色光波照明孔径的情况。因为任意复杂的光波可分解成简单的球面波的 线性组合，波动方程的线性性质允许对每一单个球 面波分别应用上述原理，把所有点源在Q点的贡献 叠加。因此， 基尔霍夫衍射公式中 可以理解为 在任意单色光照明下在孔径平面产生的光场分布 基尔霍夫衍射公式根据基尔霍夫对平面屏幕假设的边界条件，孔径外 的阴影区内 ，则衍射公式的积分限可以扩 展到无穷，从而有：这里省略常数项c。衍射与障碍物不论以什么方式改变光波波面 （1）限制波面范围 （2）振幅以一定分布衰 减，（3）以一定的空间分布使复振幅相位延 迟，（4）相位与振幅两者兼而变化，都会引 起衍射，均称为衍射。 所

12、以障碍物的概念，除去不透明屏上有 开孔这种情况以外，还包含具有一定复振幅 的透明片。把能引起衍射的障碍物统称为衍 射屏。衍射屏处光场描写衍射屏自身宏观光学性质的物理量复振幅 透过率：衍射屏前表面的复振幅或照射到衍射屏上 的光场的复振幅； ：是衍射屏后表面的复振幅。若衍射屏是具有开孔的不透明屏，则公式中的 既可理解为衍射屏前表面的复振幅，也可理解 为衍射屏后表面的复振幅，因为积分范围为。若将衍射过过程看作衍射屏后表面光振动动到观察 面的传播，则 基尔霍夫衍射与叠加积分 基尔霍夫衍射公式 令 有物理意义 衍射屏面上任一点P ，其复振幅为 P点处的小面元dS对观察点Q的贡献 表示在P点有一个单位脉冲

13、即 时 ，在观察点Q造成的复振幅分布，称为脉冲响应或点 扩散函数。 由上面衍射公式可知，观察点Q的复振幅，是上所 有面元的光振动在Q点引起的复振幅的相干叠加。 如果把衍射过程看作是一种变换，衍射公式便是将函 数 变换成 的变换式。 按照系统的观点，衍射过程或传播过程也可以等效为 一种线性系统的线性变换， 代表了这个系统 的全部特性 光波传播的线性性质不仅存在于单 色光波在自由空间中的传播，同样 存在于孔径和观察平面之间是非均 匀媒质的情况，如两者之间存在有 光学系统，则线性系统的脉冲响应 函数h（P，Q）有不同的形式而已 相干光场在自由空间传播的平移不变性 基尔霍夫公式获得的脉冲响应表达式其中

14、公式一般相当复杂，根据实际条件可使之适当简化。 当点光源P0足够远，而且入射光在孔径平面上各点的入 射角都不大时，有 。此外，如果观察平面与 孔径平面的距离z远大于孔径，而且在观察平面上仅考虑 一个对孔径上各点张角不大的范围，即在傍轴近似下， 又有 。 在这些条件下，可以认为倾斜因子 。 脉冲响应简化为：相干光场在自由空间传播的平移不变性 观察点Q到孔径平面上任一点P的距离 脉冲响应具有空不变的形式 相干光场在自由空间传播的 脉冲响应的近似表达式 脉冲响应表达式根据实际条件还可适当简化 旁轴近似下 脉冲响应可近似为 菲涅耳衍射公式 旁轴近似下的衍射被称为菲涅尔衍射。相 应的脉冲响应被称为菲涅尔衍射脉冲响应 菲涅尔衍射公式：将代入有：夫琅禾费近似或远场近似 在菲涅耳近似的基础上进一步限定孔径的线度满 足远远小于传播距离z ， 可以忽略不计此时： 这一近似称为夫琅禾费近似或远场近似。在达一 近似条件下，脉冲响应可进一步简化为 这时的脉冲响应与(x0 , y0)和