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1、 1 矩阵及其运算一、矩阵的定义例1 设某物质有m个产地，n个销地，如果以 aij 表示由第 i 个产地销往第 j 个销地的数量，则这类物质的调运方案，可用一个数表表示如下：1. 实际例子销地销量产地12j n记例2 解线性方程组代替：r1r2r3r1r2r3（2）（3 ）（1）（2 ） （3）（1 ）由mn个数aij ( i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n)有次序地排成m行(横排)n列(竖排)的数表称为一个m行n列的矩阵，简记(aij)mn，通常用大写字母A，B，C，表示，m行n列的矩阵A也记为Amn，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，而aij表示矩阵第 i 行、第
2、 j 列的元素。2. 定义注意：(1) 只有一行的矩阵 A1n =(a1 a2 an) 称为行矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵(2) 两个矩阵A、B，若行数、列数都相等，则称 A、B是同型的。(3) 若 A = (aij)mn, B = (bij)mn是同型的，且 aij = bij (i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n)则称A与B相等，记作AB。(4) 元素全为0的矩阵称为零矩阵，记作O，不同型的零矩阵是不相等的。二、矩阵的运算设 A = ( aij )mn , B = ( bij )mn则矩阵 C = ( cij ) mn= ( aij + bij ) mn称为矩阵A与
3、B的和，记作 C = A+B1. 矩阵的加法(1) 定义设 A，B，C，O 都是 mn 矩阵(1) A + B = B + A(2) ( A + B ) + C = A + ( B + C )(3) A + O = O + A = A(2) 性质2. 矩阵的减法(1) 负矩阵设 A = ( aij ) mn , 则称( aij ) mn 为A的负矩阵，简记A显然A+ (A)= O ,(A) = A(2) 减法：设 A = ( aij ) mn , B = ( bij ) mnAB = A + (B ) = ( aij bij ) mn记为 A，即设是常数， A = ( aij ) mn ，则矩
4、阵( aij ) mn 称为数与矩阵A的乘积，3.数与矩阵的乘法(1) 定义设 A、B 为 m n 矩阵，、u为常数(1) ( u ) A = ( u A) = u ( A );(2) ( A + B ) = A + B(3) ( + u ) A = A + u A(4) 1A = A (1)A = A(2) 性质例3 ：设求A2B解：设 A = ( aij ) ms , B = ( bij ) sn , 其中Cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和( i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n)乘积 CAB是mn矩阵，C = ( cij ) mn 则A与B的4. 矩
5、阵的乘法(1) 定义例4： 设矩阵求乘积 AB 和 BA解：注：AB BA 即矩阵乘法不满足交换律例 5： 设试证： (1) AB = 0 ； (2) AC = AD证：(1)(2)故 AC AD比较：(1) 在数的乘法中，若ab = 0 a = 0 或 b = 0在矩阵乘法中，若AB = O A = O 或 B = O两个非零矩阵乘积可能为O。(2) 在数的乘法中，若ac = ad，且a 0 c = d (消去律成立)在矩阵乘法中，若AC = AD，且A O C = D (消去律不成立)(1) ( A B ) C = A ( B C )(2) A (B + C ) = A B + A C(3
6、) ( B + C ) A = B A + C A(4) ( A B ) = ( A ) B = A ( B ) (其中 为常数)(2) 性质5. 线性方程组的矩阵表示设方程组为可表示为简记为AXB。A称为由线性方程组的系数矩阵 。将矩阵 A mn 的行换成同序数的列，列换成同序数的行所得的 nm 矩阵称为A的转置矩阵，记作 AT 或 A。例如：则6. 矩阵的转置(1) 定义(1) ( AT ) T = A(2) ( A + B ) T = A T + B T(3) ( A ) T A T(4) ( A B ) T = BT A T(2) 性质例6：设求 ( A B ) T。解法一：( A B
7、 ) T = B T A T解法二：三、方阵1.定义则：(其中：k, l均为正整数)记AA A = Akk个k个行数与列数相同的 n n 矩阵 A 称为方阵，n 称为它的阶数，简记 An 。称为n阶单位矩阵，简记E显然1. 单位矩阵 002.几类特殊方阵2. 对角矩阵其中 aij = 0, i j00特别：称为数量矩阵00结论：(1)000000(2) k为正整数时00k003. 上三角矩阵0其中 aij = 0, i j下三角矩阵其中 aij = 0, i j04. 对称矩阵(1) 若方阵A满足 AT = A，即 aji = aij，则称A为对称矩阵。(2) 若方阵A满足 AT = A，即
8、aji = aij，则称A为反对称矩阵。这时 aii = 0 ( i = 1, 2, n)例7： 设A为任一方阵，证明 : A+AT为对称阵， AAT 为反对称阵证：由于故A+AT为对称阵，AAT 为反对称阵（1） 方阵 A 对应的行列式记为 |A |或 det A 若 |A| 0，则称方阵 A 是非奇异(非退化)的，否则，称 A 是奇异(退化)的。 3、比较方阵与行列式(2) | A | = n | A |(3) | A B | = | A | | B |(3) | A B | = | A | | B |例如：有而所以| A B | = | A | | B |(4) | A m | = |
9、A | m| A 1 A 2 A m | = | A 1| | A 2 | | A m | 推广：四、分块矩阵如果用若干条贯穿矩阵的横线和纵线将矩阵A分成若干小块，这样的小块称为矩阵A的子块或子矩阵，而A可以看成是以子块为元素的矩阵，称A为分块矩阵。1. 定义例如：A11A12 A21A22例 8： 设 利用分块矩阵求 A+B，AB。解：将A、B分块成 则而故而故考察： AT对于有2. 分块矩阵的转置注：设矩阵A = ( aij ) mn 分块为 则若方阵A除主对角线上的子块外，其余子块都为O，且主对角线的子块均为方阵，则称A为准对角矩阵。00( Ai 为方阵， i = 1,2,，m)即：即：
10、A3. 准对角矩阵 定义：例如：00为准对角矩阵。准对角矩阵与对角矩阵有类似的性质例如 ：00A00有( Ai 为方阵， i = 1,2,，m)2 矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换定义 1对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的 初等行变换(1) 互换两行 ( 记作 ri rj );(2) 以数 0 乘以某一行 ( 记作 ri );(3) 将第 j 行各元素乘以数后加到第 i 行的对应元 素上去 (记作 ri + rj )相应地，矩阵的三种初等列变换的记号只需将 r 换成 c。二、初等矩阵定义2由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。(1) ri rjci cj 也得到 P (i, j
11、)第 i 行第 j行(2) ri ci 也得到 P ( i ()00第 i 行(3) ri + rj cj + ci 也得到 P ( i, j ( ) )第 i 行第 j 行定理1对A施行一次初等行变换，相当于在A的左侧乘以一个相应的初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右侧乘以一个相应的初等矩阵；例如：设A是一个 m n 矩阵(1)Ar1 r2P(1, 2) A(2)Ac3 c4A P(3, 4) 三、矩阵的秩1. k 阶子式定义3设 A 为 mn 矩阵，在 A 中任取 k 行 k 列 (1 k min (m, n)，由这 k 行，k 列的交叉处的 k2 个元素(按原来的前后顺序)所
12、构成的 k 阶行列式，称为矩阵A的一个 k 阶子式。例如：一个2阶子式例如：一个2阶子式一个3阶子式(1) A 的每个元素 aij 都是 A 的一个一阶子式(2) 当 A 为 n 阶方阵时，n 阶子式即为 | A |注：2. 矩阵的秩例如：中有一个3阶子式R(A) = 3定义4矩阵A的不为0的子式的最高阶数称为矩阵 A的秩，记为R(A)。( 显然 R (A) min (m, n) )规定：注：(1) 非奇异矩阵A，有 | A | 0，A的秩就等于它的阶数，A又称为满秩矩阵。(2) 奇异矩阵A，也称为降秩矩阵。定理2 若矩阵 A 中至少有一个 k 阶子式不为0，而所有 k+1 阶子式全为0，则
13、r ( A ) = k。零矩阵的秩为0，即 R (O) = 03. 初等变换求矩阵的秩定理3 对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变例：阶梯形r ( A ) = 3A进一步：A称为A的标准形注：若A为n阶满秩方阵，则A的标准形为n阶单位阵E。3 逆 矩 阵一、逆矩阵的定义定义1AB = BA = E则称 B 为 A 的逆矩阵，并称 A 可逆。设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B使显然A 为B 的逆矩阵，即 A 与B 互为逆矩阵 。例如：有所以 B 是 A 的逆阵，同时 A 也是 B 的逆阵。例1 设 a11 a22 ann 0, 0000由于：0 00 0所以例2 若方阵 A1 A2 Am 均可逆，
14、可证0 00 0定理1 (唯一性)若方阵 A 的逆矩阵存在，则唯一，用 A1 表示证：设B、C均是A的逆矩阵，则B所以A的逆矩阵唯一。= BE = B(AC) = (BA)C = EC = C矩阵称为 A 的伴随矩阵定义2:设 A = (aij)nn , Aij 是 |A | 中元素 aij 的 代数余子式 ( i, j = 1, 2, , n );二、矩阵可逆的条件即 ：A A*= A* A= |A | E定理2方阵 A 存在逆矩阵|A |且求逆矩阵的第一种方法：方阵 A满足 |A |时 ，例3 求矩阵的逆矩阵解：故 A 可逆，又 A115， A122，A212，A221则所以比较：(1)
15、在数的乘法中，若ab = 0 a = 0 或 b = 0在矩阵乘法中，若AB = O A = O 或 B = O两个非零矩阵乘积可能为O。(2) 在数的乘法中，若ac = ad，且a 0 c = d (消去律成立)在矩阵乘法中，若AC = AD，且A O C = D (消去律不成立)例4 设 A 是可逆阵，证明：(1) 若 A X = A Y X = Y(2) 若 A B = 0 B = 0证：A1 ( A X ) = A1 ( A Y )( A1 A ) X = ( A1 A ) YEX = EYX = Y(1)A X = A Y由所以(2) 由 AB =0，有A1 (AB) = A1 0所以 B =0( A1 A ) B = 0(1) 若A，B均为n阶方阵，且 A B = E (或 B A =E ) ，则 BA1证： |A
