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1、电磁场理论 第1章 矢量分析第1页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组上节内容回顾：矢量代数；常用正交坐标系；标量场的梯度；矢量场的散度、散度(高斯)定理。本节内容提示：1.5 矢量场的旋度、斯托克斯定理；1.6 矢量场的分类；1.7 拉普拉斯运算；1.8 亥姆霍兹定理。第1章 矢量分析电磁场理论 第1章 矢量分析第2页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组1.5.1 矢量场的环流线元矢量 ：长度趋近于0，方向沿路径切线方向。物理意义：若矢量场环流不为零，则矢量场中存在产生矢量场的漩涡源。在矢量场 空间中，场量 沿有向闭合路径 的线积分称为矢量 沿 的环流，即：1.5 矢量场的环流与旋度电磁场理
2、论 第1章 矢量分析第3页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组环流面密度：空间某点M处沿单位面元 S 边界闭合曲线的环流称为矢量场 在M点处沿 方向的环流面密度。环流面密度大小与所选取的单位面元方向 有关。电磁场理论 第1章 矢量分析第4页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组矢量场在M点的旋度为该点处的最大环流面密度，其方向为环流面密度取得最大值的面元法线方向，表示为 ，即：式中： 表示矢量场旋度的方向。旋度的物理意义旋度表征矢量场在空间某点处的漩涡源密度。1.5.2 旋度电磁场理论 第1章 矢量分析第5页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组旋度的计算直角坐标系：可见，旋度描述了场分 量在与其
3、垂直的方向上 的变化规律。电磁场理论 第1章 矢量分析第6页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组柱面坐标系： 球面坐标系：矢量场的旋度 的散度恒为零标量场的梯度 的旋度恒为零旋度计算相关公式：（参见教材341页）（物理含意？）电磁场理论 第1章 矢量分析第7页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组讨论：散度和旋度的比较: 物理意义：矢量场的旋度在曲面上的面积 分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线 上的线积分。1.5.3 斯托克斯定理电磁场理论 第1章 矢量分析第8页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域V内场 为有散无旋场
4、。 1.6 无旋场与无散场（矢量场的分类）1.6.1 有散无旋场即：无旋场场矢量沿任何闭合路径c的环流等于零。 重要性质：可引入标量位函数 u 的梯度表征矢量场，即例如：静电场电磁场理论 第1章 矢量分析第9页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组1.6.2 有旋无散场若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域V内，场 为有旋无散场。 即：无散场通过任意闭合曲面S的通量等于零。 重要性质：可引入矢量位函数A的旋度表示无散场：例如，恒定磁场电磁场理论 第1章 矢量分析第10页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组1.6.3 无旋无散场(例：源在所讨论的区域之外)1.
5、6.4 有散有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分有散无旋场部分有旋无散场部分电磁场理论 第1章 矢量分析第11页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组1.7 拉普拉斯运算标量场的拉普拉斯运算定义：对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：式中：称为拉普拉斯算符。在直角坐标系中：在圆柱坐标系中：电磁场理论 第1章 矢量分析第12页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组矢量场的拉普拉斯运算在直角坐标系中：在球面坐标系中：电磁场理论 第1章 矢量分析第13页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组v 格林定理（格林恒等式）描述了场域内任意两个标量场之间应满足的关系。(格林第一恒等式)
6、(格林第二恒等式)由高斯定理：电磁场理论 第1章 矢量分析第14页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组1.8 亥姆霍兹定理在有限区域内，任意矢量场由它的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定，且可表示为：矢量场可分解一个有散无旋场和有旋无散场之和，即：电磁场理论 第1章 矢量分析第15页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组已知矢量F的通量源密度矢量F的旋度源密度场域边界条件在电磁场中电、磁场散度 电、磁场旋度 场域边界条件亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线。若矢量场 在某区域V内，处处有 和 则 由其在边界面上的场分布确定。 注意：不存在在整个空间内散
7、度和旋度处处均为零的矢量场。本章内容总结: 概念、定理作业：1.21, 1.22电磁场理论 第1章 矢量分析第16页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组第二章 电磁场的基本规律本章主要讲解电磁场理论基本理论和基本规律。主要内容包括：电荷、电流及电荷守恒定律静电场的基本规律恒定磁场的基本规律媒质的电磁特性：极化与磁化麦克斯韦方程组电磁场的边界条件电磁场理论 第1章 矢量分析第17页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组2.1 电荷守恒定律基本物理量：源、场电荷电流电场磁场（运动）源：电荷 ，电流电磁场理论 第1章 矢量分析第18页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组自然界中最小的带电粒子是电子（负
8、）和质子（正）。 电子(基本)电荷的量值：e 1.60210-19(单位：库仑/C )。 从微观而言，电荷以离散方式分布于空间中; 量子化q = Ne。 从宏观而言，大量带电粒子密集出现在某空间范围内时，可假定电荷连续分布在这个范围内。电荷的几种分布方式：空间中电荷体密度面上电荷面密度s线上电荷线密度l2.1.1 电荷与电荷密度电磁场理论 第1章 矢量分析第19页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组单位：C/m3 (库/米3 )总电荷q与体密度的关系： 设分布于体积元V中的电荷电量为q，则电荷体密度的定义为电荷体密度电磁场理论 第1章 矢量分析第20页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组单位:
9、 C/m2 (库/米2) 如果已知某空间曲面S 上的电荷面密度，则该曲面上的总电荷q 为设分布于面积元S中的电荷电量为q，则电荷面密度定义为电荷面密度电磁场理论 第1章 矢量分析第21页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲线上的总电荷q 为 单位: C/m (库/米)设分布于线元l中的电荷电量为q，则电荷线密度定义为电荷线密度电磁场理论 第1章 矢量分析第22页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组点电荷的电荷密度表示为：体积很小而电荷密度很大的带电小球的极限。当点电荷q位于坐标原点时，点电荷电磁场理论 第1章 矢量分析第23页*北航仪器光电学院 电磁场理
10、论课程组电流由定向流动的电荷形成，通常用电流强度i(t)表示;若单位时间内通过某一横截面S 的电荷量为q，则电流强度定义为：不随时间变化的电流称为恒定（稳恒）电流，I。引入电流密度来描述电流的分布情况电流的几种分布方式：空间中体电流密度面上面电流密度线上线电流2.1.2 电流与电流密度电流单位：安培，A电磁场理论 第1章 矢量分析第24页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组通过体积内任意截面积 S 的电流：带电粒子密度为N，粒子电量q，运动速度v，选取如图柱体。其中： 为曲面 S 的法向单位矢量体电流密度(A / m2 ） dt 时间内，柱体中所有带电粒子经dS 流出，即 dt 时间内通过 d
11、S 的电荷量为体电流密度：电磁场理论 第1章 矢量分析第25页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组从体电流出发推导面电流密度定义。设体电流密度为 ，薄层厚度为h，薄层横截面S，则穿过截面的电流为面电流密度电流在厚度趋于零的薄层中流动时，形成表面电流或面电流。式中 即为面电流密度，单位为A/m（安培/米）电磁场理论 第1章 矢量分析第26页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组线电流密度沿横截面可以忽略的曲线流动的电流，称为线电流。长度元 dl 上的电流 Idl 称为电流元。小节 电流：体电流密度：面电流密度：小节电流：体电流密度：面电流密度：电磁场理论 第1章 矢量分析第27页*北航仪器光电学院
12、 电磁场理论课程组电荷守恒定律孤立系统内，正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变。2.1.3 电荷守恒定律与电流连续方程电流连续性方 程积分形式 根据电荷守恒定律，单位时间内从体积V中减少的电荷量等于流 出该体积总电流，即：电流连续性方程对等式左端应用高斯散度定理，将闭合面上的面积分变为 体积分，可得：电磁场理论 第1章 矢量分析第28页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组电流连续性方 程微分形式 说明：1）积分形式反映电荷变化与电流流动的宏观关系；微分形式描述空间各点电荷变化与电流流动的局部关系。2）对于恒定电流场： 恒定电流连续性方程电磁场理论 第1章 矢量分析第29页*北航仪器光电学院
13、 电磁场理论课程组2.2 真空中静电场的基本规律2.2.1 库仑定律 电场强度库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力 的规律，其数学表达式为式中:F12表示q1作用在q2上的静电力，为真空中介电常数。静电场：由位置固定、电量恒定不变的静止电荷产生的电场。电磁场理论 第1章 矢量分析第30页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组静电力符合矢量叠加原理连续分布电荷系统的静电力须通过矢量积分进行求解静电力大小与电量成正比、与距离的平方成反比，方向在连线上电磁场理论 第1章 矢量分析第31页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组电场的定义电场强度矢量用电场强度矢量 表示电场的大小和方向。电场强度定义式
14、：电场是电荷周围形成的物质，当另外的电荷处于这个物质中时，会受到电场力的作用静电荷产生的电场称为静电场随时间发生变化的源产生的电场称为时变电场电场强度矢量 描述电场分布的基本物理量。电磁场理论 第1章 矢量分析第32页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组点电荷产生的电场单个点电荷 q 在空间任意点激发的电场为N 个点电荷组成的电荷系统在空间任意点激发的电场为如何求解连续分布电荷产生的电场？例2.2.1 电偶极子的电场强度。（p.40-41）电磁场理论 第1章 矢量分析第33页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组连续分布的电荷系统产生的电场连续分布于体积 V 中的电荷在空间任意点 r 产生的电场处理思路：1) 无限细分区域2）考查每个区域3）矢量叠加原理设体电荷密度为 ，图中dV在 M 点产生的电场为：则整个体积 V 内电荷在 M 点处产生的电场为：电磁场理论 第1章 矢量分析第34页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组面电荷和线电荷产生的电场只需在上式中将电荷体密度、体积元和积分区域作相应替换即可，如 线电荷 面电荷电磁场理论 第1章 矢量分析第35页*北航仪器光电学院 电磁场理论课程组例: 图中所示为一个半径为r的带电细圆环，圆环上单位长度带 电l，
