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1、偏微分方程 PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION (P.D.E)*11行波法波动方程的初值问题（一维）（I）波动方程Date2一维波动方程的定解问题无界弦的自由振动无界弦的强迫振动半无界弦的自由振动半无界弦的强迫振动三维波动方程的定解问题二维波动方程的定解问题球对称情形一般情形球面平均法行波法降维法有限弦的振动问题Date31. 无界弦的自由振动特征方程为特征线为故作线性变换方程改写为Date4Date5此即为原方程的通解。利用初值条件确定函数 F，G其中 为任意一点，而 C为积分常数，Date6达朗贝尔公式Date7把定解问题的解表示为左、右行进波 相叠加的方法称为“
2、行波法”。Date8例1 ：解：由达朗贝尔公式Date9例2 ：解 ：Date10例3 ：Date11物理意义右传播波左传播波Date12Date13影响区域、依赖区域、决定区域波动是以一定的速度 a 向两个方向传播的 。 如果在初始时刻 t0，扰动仅仅在有限区间 上存在，则经过时间 t 后，扰动传到的范围为影响区域定义 ：上式所定义的区域称为区间的影响区域。Date14定义 区间称为解在（x，t）的值的依赖区间。从达朗贝尔公式中可以看出，u(x, t) 仅仅依赖于中的初始条件 。依赖 区间它是过（x，t）点，斜率分别为的直线与 x 轴所截而得到的区间（如右图）。Date15定义区间过作斜率为
3、的直线过作斜率为的直线则 它们与区间一起围成的三角形区域中的任意一点 ( x, t ) 的 依赖区间都落在区间 内，因此该三角区域称为 决定区域。 Date162. 无界弦的强迫振动（I ）（II ）（III ）Date17叠加原理定解问题（I）的解是定解问题（II）的解与定解问题（III）的解之和 。 问题（II）的解可以用达朗贝尔公式来求解 。故只须考虑求解问题（III）的解 。我们利用齐次化原理来求解问题（III）的解 。Date18齐次化原理 （Duhamel原理）设是（IV ）的解 ，则正是的解 。（III）Date19下面来求出（III）的解的表达式令（IV）化为利用达朗贝尔公式可
4、得于是有Date20齐次化原理的证明需要用到参变量积分的求导Date21Date22定解问题（I）的解一维非齐次波动方程的 Kirchhoff 公式。Date23例5 ：由例2 ，Date243. 半无界弦的自由振动我们先考虑情形，即一端 x = 0 固定的振动 。 希望能利用达朗贝尔公式来求解Date25为此，我们要作奇延拓（有时也作偶延拓 ）Date26为了得到半无界问题的解，只须限制当时 ，当时 ，当在 x = 0处有一个自由端，即则需要作偶延拓。Date27例当当Date284. 半无界弦的强迫振动作奇延拓Date29考虑Date30Date31下面考虑情形的半无界振动 。作变换Dat
5、e32例6 ：令Date33Date34解法二 ：由于外力、初始位移以及初始速度均为零 ，所以弦振动时波传播只是受到边界点x0的影响而向x 轴正向传播的右传播波。由此，解具有如下形式根据边界条件确定任意函数 f ：令故Date35规定，当 时Date36例7 ：令Date37当当Date38注意Date396. 三维波动方程的柯西问题Date40球对称情形所谓球对称是指与无关，则波动方程可化简为Date41半无界问题Date42这是关于 v = r u 的一维半无界波动方程.Date43一般情形我们利用球平均法 。从物理上看，波具有球对称性。从数学上看，总希望把 高维化为一维情形来处理，并设法
6、化为可求通解的情况 。所谓球平均法，即对空间任一点（x，y，z），考虑 u 在 以（x，y，z）为球心，r 为半径的球面上的平均值其中为球的半径的方向余弦 ，Date44如把 x, y, z 看作参变量，则是 r，t的函数，若能求出 ，再令则为此把波动方程的两边在以x，y，z为中心，r为半径的 球体 内积分，并应用Gauss公式，可得（*1 ）Date45同时有由（*1）(*2)可得（*2 ）关于r 微分，得（*3 ） 利用球面平均值的定义，（*3）可写成（*4 ） Date46（*4）又可改写为Date47通解为令 r 0，有代入上式，得 （*5 ）关于 r 微分，再令 r 0，有（*6 ）
7、Date48接下来，求满足初值的解。对（*5）关于 t 微分，（*7）（*6）和（*7）相加即得即把代入上式，得Date49Date50从而有Date51Date52Poisson公式Date537. 二维波动方程如果我们把上述问题中的初值视为 重复推导Poisson公式的过程，将会发现所得Poisson公式中不含第三个变量。 降维法：由高维波动方程的柯西问题的解来求解低维 波动方程柯西问题的方法。 由Hadamard最早提出的 。Date54计算上述曲面积分。由于初始数据与第三个变量无关 ，因此，在 上的球面积分可由在圆域上的积分得到。Date55因此Date56物理意义惠更斯原理（无后效性现象 ）三维情形二维情形波的弥散（后效现象）Date57作业：第一次P 54Ex 5 （2） Ex 6 (2)Ex 8第二次P 54Ex 4 Ex 7 (2)Date58Date59
