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1、 一般地，实数一般地，实数 与向量与向量a a 的的积积是一个是一个向向量量，记作，记作 a a，它的，它的长度长度和和方向方向规定如下：规定如下：(1) |(1) | a a|=|=| | | | |a a| |(2) (2) 当当00时时, , a a 的方向与的方向与a a方向相同；方向相同；当当00时时, , a a 的方向与的方向与a a方向相反；方向相反； 温故知新设设a,ba,b为任意向量，为任意向量，,为为任意实数任意实数，则有：，则有： ( ( a a)=()=() ) a a ( (+) ) a=a= a+a+ a a ( (a+ba+b)=)= a+a+ b b运算律OB
2、A已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则AOB= （0 180） 叫做向量a与b的夹角。当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OAB B当90时，称a与b垂直，记为ab.OAab向量的夹角我们学过功的概念，即一个物体 在力F的作用下产生位移s（如图）FS力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“ 数量积”的概念。规定:零向量与任一向量的数量积为0。（1 1）向量的加、减法的结果是向量还是数量？）向量的加、减法的结果是向量还是数量？ 数乘向量运算呢？向量的数量积运算呢？数乘向量运算呢？向量的数量积运算呢？ （2
3、 2）“ ”“ ”能不能写成能不能写成“ ”“ ”或者或者“ ” “ ” 的的 形式？形式？思考已知两个非零向量a与b，它们的 夹角为，我们把数量|a| |b|cos叫做 a与b的数量积（或内积），记作abab=|a| |b| cos一、向量数量积的定义 ：向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？ab=|a| |b| cos当0 90时ab为正；当 =90时ab为零。当90 180时ab为负。60。CB60。5824-20D（1）已知 |p| =8,|q| =6, p和q 的夹角是 ，求p q60。a与 b的夹角为 ，则 a b=_30。（2）已知练习1（3）已知 中， a
4、=5,b =8,C= ,求BC CAA设是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则特别地OABabB1五条重要性质例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 =120，求ab。解：ab = |a| |b|cos= 54cos120=54（-1/2）= 10例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求ab。OABab平面向量的数量积的几何意义平面向量的数量积的几何意义，过点B作垂直于直线OA，垂足为 ，则| b | cos| b | cos叫向量 b 在 a 方向上的投影平面向量的数量积的几何意义是: a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向 上的投影 |b|cos 的乘积 1若a =0，则
5、对任一向量b ，有a b=02若a 0，则对任一非零向量b ,有a b0 3若a 0，a b =0，则b=0 4若a b=0，则a b中至少有一个为0 5若a0，a b= b c，则a=c 6若a b = a c ,则bc,当且仅当a=0 时成立 7对任意向量 a 有练习2练习三练习三 ：1、已知 ， 为单位向量，当它们的夹角为 时， 求 在 方向上的投影及 ； 2、已知 ， ， 与 的交角为 ，则；3、若 ， ， 共线，则.（1）e a=a e=| a | cos （2）ab a b=0 (判断两向量垂直的依据) 403或3( a / b a b=|a| |b| )（3）当a 与b 同向时，
6、a b =| a | | b |，当a 与b 反向时， a b = -| a | | b | 特别地4、已知 ， ，且 ，则 与 的夹角为；二、平面向量的数量积的运算律 ：数量积的运算律：其中，是任意三个向量，则(a + b) c = ON |c|= (OM + MN) |c|= OM|c| + MN|c|= ac + bc . ONMa+bbac向量a、b、a + b 在c上的射影的数量 分别是OM、MN、 ON, 证明运算律(3)例 3：求证： （1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.(ab)a(ab)ba22abb2.aabaabbb证明：（1）(ab)2(ab)
7、(ab)（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.例 3：求证：证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba2b2.例4、的夹角为解:解:3、用向量方法证明：直径所对的圆周 角为直角。练习四练习四 ：K=6ABCO如图所示，已知如图所示，已知 OO，ABAB为直径，为直径，C C 为为 OO上任意一点。求证上任意一点。求证ACB=90ACB=90分析：要证ACB=90，只须证向 量 ，即 。解：解：设 则 ， 由此可得：即 ，ACB=90ADA练习五练习五 ：-3B5.6.7.1、向量的数量积的定义4 、必须掌握的五条重要性质小结2、向量的数量积的几何意义3、向量的数量积的运算律作业:1.阅读教材的相关内容3.红对勾的第26课时2.教材第108页A组第1，2，3，5题
