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1、第二章 线性系统的数学模型 描述控制系统输入、输出变量及内部变量之间关 系的数学表达式称为系统的数学模型。 描述控制系统的输入输出变量数学模型:微分方程、传递函数、方框图、频率特性 描述控制系统的内部变量数学模型：状态空间说明 要分析自动控制系统的性能，必须先建立该系统 的数学模型； 一个物理系统，要处理的问题或要达到的精度不 同，得到的数学模型也不同。21 微分方程主 要 内 容22 传递函数23 典型环节的传递函数及动态响应典型环节的传递函数及动态响应24 电气网络的运算阻抗与传递函数电气网络的运算阻抗与传递函数 25 方方框图框图 25 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数21
2、微分方程对于线性定常系统, 可以用线性常系数微分方程 作为其数学模型，如a 0dnc (t)/dtn +a1dn-1c (t) /dtn-1+anc (t)=b0dmr(t)/dtm +b1dm-1r(t)/dtm-1+bmr(t)c(t): 系统的输出；r(t): 系统的输入；a0an ; b0bm 均为实数，均由系统本身的结构参数所决定的，且n为系统的阶数，nm。建立微分方程的一般步骤(1)确定输入量和输出量；(2) 增设中间变量，围绕输入量、输出量及中间量 ，列微分方程组。(3)消去中间变量，整理出只含有输入量和输出变量 及其各阶导数的微分方程；(4)标准化，将输出量及其各阶导数放在等号
3、左边， 将输入量及其各阶导数放在等号右边，各阶导数项 按阶次由高到低排列。电气系统电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、 运算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。无源网络：由无源元件组成的电气网络。不含电源的器件：R、L、C等。有源网络：包含有源元件的电气网络。含电源的器件：运算放大器。电气系统列写电气网络的微分方程要用到以下规律：KCL电流定律：KVL电压定律：元件的伏安关系：理想运算放大器：虚短、虚断22 传递函数 一.定义 线性定常系统 线性常系数微分方程c(t): 系统的输出；r(t): 系统的输入；a0an ; b0bm 均为实数，均由系统本身的结构参数所决定的，且nm。令c
4、(t)和r(t)及其各阶导数在t=0时的值为零,（a0Sn+a1Sn-1+an-1S+an)C(S)=(b0Sm+b1Sm-1+bm-1S+bm)R(S)经过整理得：（零初始条件） 两端拉氏变换得到以复变量S为自变量的代数方程：传递函数的定义：零初始条件下系统输出与输入的拉氏变换之比。说明（2）传递函数由系统本身的结构和参数决定，与输 入信号的具体形式和大小无关。（1）由于拉氏变换只是线性定常微分方程的数学变换 ，故传递函数仅为线性定常系统的数学模型。（4）传递函数的自变量是S，所以传递函数时系统的 复频域描述，而微分方程则为系统的时域描述。(3) C(S)= R(S)G(S)，信号传递的性质
5、。用方框图表示：R(S)G(S)C(S)（5）对实际系统，传递函数是S的有理分式设式中：k 为比例系数;z1zm称为传递函数的零点;p1pn称为传递函数的极点。（6）传递函数的零、极点、增益模型零点和极点是在复数平面上的点，因此可以是实数 （在实轴上），也可以是复数，如为复数必为共轭 出现。例：以零极形式表示，并在复平面上标出。S1、S2= -2 j3 为一对共轭复数极点。Im j3-j3Re-26S1S2解：G(S)的零极形式为：（7）系统的特征方程系统传递函数分母等于零所得的方程，即令特征根：特征方程的根，也是传递函数的极点。23 典型环节的传递函数及动态响应典型环节的传递函数及动态响应
6、为了分析方便，往往将一个复杂的控制系统分成一个个小部分，称为环节。控制系统虽然是各种各样的，但常见的典型环节并不多。一.比例环节1、传递函数2、阶跃响应 R(S)KC(S)二.惯性环节1、传递函数2、阶跃响应 R(S)C(S)说明经过3T 4T，输出接近稳态值，约为稳态值的95%98%；由于 的存在，输出呈现缓慢上升过程，这一现象称为系统具有一定的惯性，用时间常数T来表征；T=0，即比例环节，无惯性；T越大输出接近稳态的时间越长，上升越缓慢，系统惯性越大。 三.积分环节1、传递函数2、阶跃响应 四.比例积分环节1、传递函数2、阶跃响应 五.微分环节理想微分环节2、阶跃响应 1、传递函数说明理想
7、微分环节很难应用，引入 实际微分环节。1、传递函数2、阶跃响应 六.比例微分环节（一阶微分环节）2、阶跃响应1、传递函数或 说明与微分环节类似，在实际中所用的比例微分环节也 是带惯性环节的。实际中的比例微分环节的传递函数：当很小时，则近似于理想的比例微分环节七.比例积分微分环节2、阶跃响应1、传递函数八.二阶振荡环节1、传递函数T 时间常数 阻尼比 2、阶跃响应 九九. . 延迟环节：延迟环节：输出为输入信号的延迟。输出为输入信号的延迟。1、动态方程 2、传递函数说明：延迟环节可能使系统不稳定，越大，对系统的稳定性越不利。 24 电气网络的运算阻抗与传递函数电气网络的运算阻抗与传递函数 一.运
8、算阻抗元件运算阻抗（复阻抗）RRLsLC二.伏安关系 时域电路运算电路可见，运算阻抗可以当做普通电阻使用！三.电路定律 时域电路运算电路对电气网络，可以不列微分方程，仅利用运算电 路，经过简单的代数运算，就可以求得传递函数！225 5 控制系统的方框图控制系统的方框图 方框图是以图形表示系统的数学模型； 通过方框图，能够非常清楚地表示出信号在系统各环节之间的传递过程； 方框图可以方便地求出复杂系统的传递函数； 方框图是分析控制系统的一个简明而有效的工具。 一一. .方框图的概念和绘制方框图的概念和绘制 构成方框图的基本符号有四种：（1）信号线： R(s)箭头表示信号传递的方向，线上表明所对应的
9、变量。 1、方框图是传递函数的图解化表示，框图中各信号 均以s为自变量，反应系统中各个环节的连接关系。（2）函数方框： 方框中为各环节的传递函数 Gn (S)Xi(S )X0(S)X0(S) Xi(S) Gn (S)（3）比较点：信号的代数和，具有相同量纲 X1(S )X2(S )X1(S)+ X2(S)+X1(S )X2(S )X1(S) X2(S)+（4）引出点： X (S)X (S) X (S)只是传送信号，并不提取能量，不是求和！2、方框图的绘制列系统各环节的微分方程组 拉氏变换 方框图 系统的微分方程为：式中T1、T2、K1、K2、K3均为正的常数，系统的输入为r(t)，输出为c(t
10、)，画出系统的传递函数方框图。例题注意方框图形式要规范，前向通路、反馈通路要清晰明 确，左边为系统总输入R(s)，右边为输出C(s)。 方框图中的各个环节都必须是典型环节。 若遵循前一个环节的输出为下一个环节的输入，则 容易画图。二二. .环节间的连接关系环节间的连接关系 1.串联 G1 (S)R(S )G2 (S)C(S)Gn (S)2.并联 G1 (S)G2 (S) .Gn (S)C(S)R(S )3.反馈 R(S)C(S)G(S )H(S)B(S )E(S)正反馈 负反馈 单位反馈： H(S)1R(S)C(S)G(S )H(S)B(S )E(S)C(S)=E(S)G (S) E(S)=R
11、(S) B(S) B(S)=C(S) H(S)注意传递函数中： 负反馈取 正反馈取 R(S)C(S)G(S )H(S)B(S)E(S)(S)也称作自动控制系统的闭环传递函数R(S)C(S)-R(S)C(S)-三三. .比较点和引出点的移动比较点和引出点的移动 目的：为了对较复杂的方框图进行化简。目的：为了对较复杂的方框图进行化简。 原则：不能改变输入、输出之间总的数学关系式。原则：不能改变输入、输出之间总的数学关系式。 1.比较点前移 R1(S)G(S )C(S)R2(S)R1(S)G(S )C(S)R2(S)G (S)12.比较点后移 R1(S)G(S )C(S)R2(S)G(S )R1(S
12、)G(S )C(S)R2(S)3.相邻比较点之间的移动 R1(S)R3(S)-R2(S)- C(S)R1(S)R2(S)-R3(S)- C(S) R1(S)R3(S)-R2(S)-C(S)4.引出点前移 G (S)R(S )C(S)C(S)G (S)R(S )C(S)C(S)G (S)5.引出点后移 G (S)R(S )C(S)R(S)G (S)R(S )C(S)R(S)G (S)16.相邻引出点之间移动 X(S ) X(S)X(S )X(S )X(S )X(S ) X(S)X(S )X(S )X(S )说明比较点与引出点之间不要相互移动，等效关系太复杂！比较点与引出点之间不要相互移动，等效关
13、系太复杂！ 四四. .方框图的化简方框图的化简1 1、利用比较点、引出点移动来化简、利用比较点、引出点移动来化简关键：关键：找非独立回路，消除交叉结构，将方框图变成找非独立回路，消除交叉结构，将方框图变成 串联、并联、反馈连接。串联、并联、反馈连接。例题求系统闭环传递函数 。G1(S)G2(S)G4(S)C(S)-a G3(S)H2(S)H1(S)H3(S)R(S)1/G4(S )例题求系统闭环传递函数 。R(S) G1(S)G2(S)G4(S)C(S)-a G3(S)H2(S)H1(S)H3(S)b R(S) G1(S)G2(S)G4(S)C(S)-G3(S)H2(S)H1(S)H3(S)b
14、 R(S) G1(S)G2(S)G4(S)C(S)-G3(S)H2(S)H1(S)H3(S)b 1/G2(S )R(S) G1(S)G2(S)G4(S)C(S)-G3(S)H2(S)H1(S)H3(S)b 1/G2(S )R(S) G1(S)G2(S)G4(S)C(S)-G3(S)H2(S)H1(S)H3(S)b 1/G2(S )R(S) G1(S)C(S)-H1(S)对结构图进行简化，求系统闭环传递函数.解 （1） a点后移 R(S )G1(S)G2(S)G4(S)C(S)-G3(S)例题aR(S) G1(S)G2(S)G3(S)G4(S)C(S)-1/G4(S)R(S) G1(S)G2(S
15、)C(S)-1/G4(S)R(S )G1(S)G2(S)R(S)-1/G4(S)bPage31 例27 对结构图进行简化，求系统的闭环传递函数。Page31 例28 对结构图进行简化，求系统的闭环传递函数。2 2、梅森公式、梅森公式 所有各回路的“回路传递函数”之和。 两两互不接触回路，其“回路传递函数”乘积之和。 三个互不接触的回路，其“回路传递函数”乘积之和。回路传递函数 回路的前向通路和反馈通路的传递函数的乘积。包括反馈极性！相接触回路 在框图中具有共同的重合部分，包括共同的函数方框、或共同的相加点等。梅森公式梅森公式n 系统前向通路个数；Pk 从输入端到输出端的第k条前向通路 上各传递函数之积。例题求系统闭环传递函数 。R(S) G1(S)G2(S)G4(S)C(S)-G3(S)H2(S)H1(S)H3(S)L1L2L3例题 某电气网络的方框图如下，求闭环传递函数。R(S )C(S)-L1L2L326 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的典型结构如图：反馈控制系统的典型结构如图：G1(S )G2(S)R(S )C(S)E(S)B(S)H(S)+N(S )一.闭环
