数学建模初等模型

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1、数学建模 （Mathematical Modeling)黑龙江科技学院理学院工程数学教研室第二章 初等模型黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院线性代数模型初等模型第二章极限、最值、积分问题的初等模型经济问题中的初等模型重点:各种简单的初等模型难点:简单初等模型的建立和求解生活中的问题黑龙江科技学院 数 学 建 模理学院建模举例2.1 生活中的问题2.1.1 椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模 型 假 设通常 三只脚着地放稳 四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。黑龙江

2、科技学院 数 学 建 模 理学院模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性 用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 四只脚着地距离是的函数 四个距离( 四只脚)A,C 两脚与地面距离之和 f()B,D 两脚与地面距离之和 g()两个距离xBADC ODC B A 椅脚与地面距离为零正方形ABCD 绕O点旋转正方形 对称性黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f() , g()是连续函数对任意, f(), g() 至少一个为0数学 问题已知： f() , g()是连续函数 ;对任意， f() g()=

3、0 ;且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0.令h()= f()g(), 则h(0)0和h(/2)0为比例常数)。1.建立细菌繁殖的数学模型。2.假设一种细菌的个数按指数方式增长，下表是收集到的 近似数据。天数细菌个数5936102190由于细菌的繁殖时连续变化的 ，在很短的时间内数量变化得很小 ，繁殖速度可近似看做不变

4、。黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院解:建立数学模型将时间间隔t分成n等分，在第一段时间 内，细菌繁殖的数量为 ，在第一段时间末细菌的数量为 ，同样，第二段时间末细菌的数量为 ；以此类推，最后一段时间末细菌的数量为 ，经过时间t后，细菌的总数是设细菌的总数为y,则所求的数学模型为：黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院海报设计问题海报设计问题现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为 128平方分米，上下空白个2分米，两边空白个1分米，如何 确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？最小令此式对x的导数为0，解得：x=16,此时y=8,可使空白面积 最小。其中这个问题可用求一元函数最值

5、的方法解决x21y思考：若海报改为左右两栏，横 向粘贴，印刷面积为180平方分米， 要求四周留下空白宽2分米，留1分米 宽竖直中缝。如何设计它的尺寸使总 空白面积最小?黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等 水平的工人早上8：00开始工作，在t小时之后，生产出Q(t)=-t3+9t2+12t 个晶体管收音机。问：在早上几点钟这个工人的工作效率最高？工人上班效率问题工作效率最高，即生产率最大， 此题中，工人在t时刻的生产率为 产量Q关于时间t的变化率： Q(t)，则问题转化为求Q(t) 的最大值解：工人的生产率为比较R(0)=12,R(3)=39

6、,R(4)=36,知t=3时，即上午11：00， 工人的工作效率最高。黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌子 进价每听30美分，外地牌子的进价每听40美分。店主估计， 如果当地牌子的每听卖x美分，外地牌子卖y美分，则每天可 卖出70-5x+4y听当地牌子的果汁，80+6x-7y听外地牌子的果 汁。问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大 收益？最大利润问题想一想高等数学中二 元函数求最值的方法解：每天的总收益为二元函数：令 ， ，则有驻点x=53,y=55判断可知（53，55）为最大值点。黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院一零售商收

7、到一船共10000公斤大米，这批大米以常量每月 2000公斤运走，要用5个月 时间，如果贮存费是每月每公斤 0.01元，5个月之后这位零售商需支付贮存费多少元？商品的贮存费问题将区间0t5分为为n个等距的小区间间，任取第j个小区间间【tj,tj+1 】，区间长间长 度为为tj+1-tj=t，在这这个小区间间中，每公斤贮贮存费费用=0.01 t第j个小区间的贮存费=0.01 Q(tj)t总的贮存费=由定积分定义：总贮存费= 解 ：令Q(t)表示t个月后贮存大米的公斤数，则Q(t)=10000-2000t黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院某公路管理处在城市高速公路出口处，记录了几个星期内平 均

8、车连行驶速度，数据统计表明：一个普通工作日的下午1： 00至6：00之间，次口在t时刻的平均车辆行驶速度为：S(t)=2t3-21t2+60t+40(km/h)左右，试计算下午1：00至6：00内的平均车辆行驶速度？车辆平均行驶速度问题解 ：平均车辆行驶速度为此题是求函数s(t)在区间【 1，6】内的平均值 一般地，连续函数在区间上 的平均值，等于函数在此区 间上的定积分除以区间长度 。黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院设产品产量为q,产品价格为p,固定成本c0，可变成 本为c1.2.5 经济问题中的初等模型（1） 总成本函数：（2） 供给函数：（3） 需求函数：（4） 价格函数：黑龙江科

9、技学院 数 学 建 模 理学院（5） 收益函数：（6） 利润函数：（7） 边际成本函数：（8） 边际收益函数：（9） 边际利润函数：黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院例1某品牌收音机每台售价90元，成本为60元，厂家为鼓励 销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多 订购一台，售价就降低1分（例如某商行订购300台，订购量 比100台多200台，于是每台就降价0.01200=2元，商行可 按每台88元的价格购进300台）。但最低价格为75元/台。 （1）建立订购量x与每台的实际售价p的数学模型。 （2）建立利润L与订购量x的数学模型。 （3）当一商行订购了1000台时，厂家可获

10、利润多少？据此不难将售价与订购量归纳为如下的数学模型： 当x100时时，每台售价90元；当订订 购购量超过过1600台时时，每台售价75元 ；当订购订购 量在100到1600台之间时间时 ， 每台售价为为90-(x-100) 0.01每台利润是实际售价p与成本 60元之差，所以L=(p-60)x黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院例2 一房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180 元时，公寓会全部租出去，当租金每月增加10元时，就有一 套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维 护费。 （1）建立总收入R与租金x之间的数学模型。 （2）当房租定为多少时可获得最大收入？解：

11、（1）建立数学模型：（2）求R的最大值。得x=350(元/月)总收入R等于租出的公寓数50-(x-180) /10)乘以每套公寓的纯利 润x-20黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院例3 某不动产商行能以5%的年利率借得贷款，然后它又把 此款贷给顾客。若他能贷出的款额与他贷出的利率的平方成 反比（利率太高无人借贷）。 (1)建立年利率x与利润p间的数学模型。 (2)当以多大的年利率贷出时，能使商行获得利润最大？解 (1) 贷出的款额为k/x2,k0为常数，商行可获得利润：(2)下面求当x取何值时，p最大。得x=0.1,即贷出年利率为10%时，商行获得利润最大。黑龙江科技学院 数 学 建 模

12、理学院2.62.6 线性代数模型线性代数模型 所谓状态转移问题讨论的是在一定的条件下，系统由一状态所谓状态转移问题讨论的是在一定的条件下，系统由一状态 逐步转移到另一状态是否可能，如果可以转移的话，应如何逐步转移到另一状态是否可能，如果可以转移的话，应如何 具体实现？具体实现？ 例1 人、狗、鸡、米过河问题 这是一个人所共知而又十分简单的智力游戏。某人要带狗、 鸡、米过河，但小船除需要人划外，最多只能载一物过河， 而当人不在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米，问此人应如何过河 。在本问题中，可采取如下方法：一物在此岸时相应分量为1， 而在彼岸时则取 为0，例如（1,0,1,0）表示人和鸡在此岸， 而狗和

13、米则在对岸。 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院（i）可取状态：根据题意，并非所有状态都是允许的，例如 （0,1,1,0）就是一个不可取的状态。本题中可取状态（即系 统允许的状态）可以用穷举法列出来，它们是：（ii）可取运算：状态转移需经状态运算来实现。在实际问 题中，摆一次渡即可改变现有状态。为此也引入一个四维向 量（转移向量），用它来反映摆渡情况。例如 （1，1，0， 0）表示人带狗摆渡过河。根据题意，允许使用的转移向量 只能有（1，0，0，0，）、（1，1，0，0）、 （1，0，1，0）、（1，0，0，1）四个。人在此岸 人在对岸 (1，1，1，1) (0，0，0，0) (1，1，1

14、，0) (0，0，0，1) (1，1，0，1) (0，0，1，0) (1，0，1，1) (0，1，0，0) (1，0，1，0) (0，1，0，1)总共有十个可取 状态，对一般情况 ，应找出状态为可 取的充要条件。黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院规定一个状态向量与转移向量之间的运算。规定状态向量与规定一个状态向量与转移向量之间的运算。规定状态向量与 转移向量之和为一新的状态向量，其运算为对应分量相加，转移向量之和为一新的状态向量，其运算为对应分量相加， 且规定且规定0+0=00+0=0，1+0=0+1=11+0=0+1=1，1+1=01+1=0。 在具体转移时，只考虑由可取状态到可取状态的

15、转移。问题化 为： 由 初始状态（1，1，1，1）出发，经奇数次上述运算转化为（0 ，0，0，0）的转移过程。我们可以如下进行分析 ： （第一次渡河）黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院（第二次渡河）以下可继续进行下去，直至转移目的实现。上述分析实际 上采用的是穷举法，对于规模较大的问题是不宜采用的。黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院例例2 2 夫妻过河问题夫妻过河问题这是一个古老的阿拉伯数学问题。有三对夫妻要 过河，船最多可载两人，约束条件是根据阿拉伯 法律，任一女子不得在其丈夫不场的情况下与其 他男子在一起，问此时这三对夫妻能否过河？这一问题的状态和运算与 前一问题有所不同，根据 题意，状态应能反映出两 岸的男女人数，过河也同 样要反映出性别 故可如下定义：