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1、2012抛物线 重点难点 重点：抛物线定义、几何性质及标准方 程 难点：抛物线几何性质及定义的应用 知识归纳 1抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l (Fl) 的距离的点的轨迹叫做抛物线相等标准方 程y22px (p0)y22px (p0)图形2抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示)标准方程y22px (p0)y22px (p0) 性 质范围x0，yRx0，yR 准线方 程焦点对称性关于x轴对 称 顶点O(0,0) 离心率e1焦半径标准方程x22py(p0)x22py(p0)图形标准方程x22py(p0)x22py(p0) 性 质范围y0，xRy0，xR 准线方 程焦点对称性关于y
2、轴对 称 顶点O(0,0) 离心率e1焦半径 误区警示 1关于抛物线定义 要注意点F不在直线l上，否则轨迹不是抛 物线，而是一条直线. 2关于抛物线的标准方程 由于选取坐标系时，坐标轴有四种不同的 方向，因此抛物线的标准方程有四种不同 的形式，这四种标准方程的共同点在于： (1)p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的 距离，所以p恒为正数 (2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标 轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛 物线的开口方向. (3)焦点的非零坐标是一次项系数的 1抛物线的焦点弦 若直线l过抛物线的焦点与抛物线相交于两 点A、B，则线段AB通常称作抛物线的焦 点弦，焦点与抛物线上任一点的
3、连线段， 通常称作抛物线的焦半径，涉及焦半径(或 焦点弦)的问题，常考虑应用定义求解 若抛物线y22px(p0)的焦点弦为AB， A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有如下结论： |AB|x1x2p； y1y2p2. 2关于抛物线的最值问题 (1)A为抛物线弧内一定点，F为焦点，P为 抛物线上任一点，求|PA|PF|的最小值问 题常用定义转化，由A向抛物线的准线作 垂线与抛物线的交点为取到最小值的P点 (2)直线l与抛物线无公共点，求抛物线上 的点到l的最小值问题，一般可设出抛物线 上的点，用点到直线距离，转化为二次函 数求最值，或设出与l平行且与抛物线相切 的直线，转化为两平行直线间的距离
4、，后 者更简便 3由于抛物线的标准方程有四种不同形 式，故求抛物线标准方程时，一定要注意 区分焦点在哪个轴上加以讨论 例1 动点P到直线x20的距离比它 到点M(4，0)的距离小2，则点P的轨迹 是( ) A直线 B椭圆 C双曲线 D抛物线 解析：根据所给条件，结合图形可知动 点P到定直线x4及定点M(4,0)的距离 相等，故选D. 答案：D 总结评述：注意利用定义法判断轨迹 形状 (文)动点P到直线xy40的距离等于它 到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是 ( ) A直线 B抛物线 C椭圆 D双曲线 解析：M(2,2)在直线xy40上，而 |PM|即为P到直线xy40的距离 动点P的轨迹为
5、过 点M垂直于直线xy 40的直线故选A. 答案：A (理)已知动圆过 点(1,0)，且与直线x1 相切，则动圆圆 心的轨迹方程为 ( ) Ax2y21 Bx2y21 Cy24x Dx0 解析：设圆 心坐标为 (x，y)，由题意，x (1) ，整理得y24x，故选C. 答案：C 点评：动圆圆 心C到定点(1,0)和定直线x 1距离相等，C点轨迹是以(1,0)为焦 点，x1为准线的抛物线，p2， 方程为y24x.应注意圆锥 曲线定义在解 题中的应用. 答案：A 点评：解决这类问题 一定要抓准各种曲 线的基本量及其关系 (2010湖北黄冈)若抛物线y22px的焦点与 椭圆 1的右焦点重合，则p的值
6、为( ) A2 B2 C4 D 4答案：D 例3 已知抛物线C：y28x的焦点为F， 准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK| |AF|，则AFK的面积为 ( ) A4 B8 C16 D32 解析：y28x的焦点为F(2,0)， 准线x2，K(2,0)， 即(x2)2y22(x2)2y2， 化简得，y2x212x4， 与y28x联立解得：x2，y4， 答案：B 点评：按照题目的叙述，直接将文字语言 数字化，依据所给关系或等式列方程求解 是这类问题 的基本解决方法本题中关 键的关系式是|AK| |AF|. 解析：如图，由题意可得，|OF|1，由抛 物线定义得，|AF|AM|，AMF与 AOF(
7、其中O为坐标原点)的面积之比为 31，答案：D 分析：考查抛物线的过焦点的弦的性质. 将抛物线的焦点弦的方程设出，代入抛物 线方程，利用韦达定理等解决问题 总结评述：(1)抛物线的焦半径与焦点 弦有许多特殊的性质(特别是某点的焦半 径等于这点到准线的距离，化两点间的距 离为点线间 的距离)应用起来非常方便， 还有其它的一些性质这 里就不一一证明 了. 如：ANB90，以CD为直径的圆 切AB于点F等. (2)以上证明的五个结论 是抛物线中非常 重要的结论 ，要切实掌握其推证思路 (文)已知直线l与抛物线y28x交于A，B两 点，A(8,8)且直线l经过 抛物线的焦点F， 则线 段AB的中点到准
8、线的距离为 ( )答案：A (理)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F， 点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛 物线上，且2x2x1x3，则有 ( ) A|FP1|FP2|FP3| B|FP1|2|FP2|2|FP3|2 C2|FP2|FP1|FP3| D|FP2|2|FP1|FP3| 解析：将2x2x1x3两边同时加上p得， P1、P2、P3在抛物线上，2|FP2|FP1| |FP3|. 答案：C 解析：(1)由题意知，抛物线的焦点为 (1,0)， 设l：xty1，代入抛物线y24x中消去x 得， y24ty40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1y
9、24t，y1y24， x1x2y1y2(ty11)(ty21) y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t2 4t2143. (2)设l：xtyb，代入方程y24x消去x 得， y24ty4b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1y24t，y1y24b. x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2 t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt2 4bt2b24b b24b. 令b24b4，b24b40，b 2. 直线l过定点(2,0) 答案：(1)3 (2)(2,0) (理)(09湖北)如图，过抛物线y2 2px(p0)的焦点F的直线与抛物线相交于M 、N两点，自M、
10、N向准线l作垂线，垂足 分别为 M1、N1. (1)求证：FM1FN1； (2)记FMM1、FM1N1、FNN1的面积 分别为 S1、S2、S3，试判断S224S1S3是否 成立，并证明你的结论 解析：(1)证法一：由抛物线的定义得 |MF|MM1|，|NF|NN1|. MFM1MM1F，NFN1NN1F. 如图，设准线l与x轴的交点为F1， MM1NN1FF1， F1FM1MM1F，F1FN1 NN1F. 而F1FM1MFM1F1FN1NFN1 180， 即2F1FM12F1FN1180， F1FM1F1FN190，即M1FN1 90， 故FM1FN1. 证法二：如图，设直线MN的倾角为，
11、|MF|r1，|NF|r2，则由抛物线的定义得 |MM1|MF|r1，|NN1|NF|r2. MM1NN1FF1.FMM1， FNN1. 一、选择题 1(2010福建福州)若抛物线y24x的焦点 是F，准线是l，则经过点F、M(4,4)且与l 相切的圆共有( ) A0个 B1个 C2个 D 3个 答案 C 解析 经过 F、M的圆的圆心在线段FM 的垂直平分线上，设圆 心为C，则|CF| |CM|，又圆C与l相切，所以C到l距离等于 |CF|，从而C在抛物线y24x上 故圆心为FM的垂直平分线与抛物线的交 点，显然有两个交点，所以共有两个圆答案 B 3(文)(2010北京崇文)已知点M(1,0)
12、，直 线l：x1，点B是l上的动点，过点B垂 直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交 于点P，则点P的轨迹是 ( ) A抛物线 B椭圆 C双曲线的一支 D直线 答案 A 解析 P在BM的垂直平分线上，故|PB| |PM|. 又PBl，因而点P到直线l的距离等于P到 M的距离，所以点P的轨迹是抛物线答案 B 答案 C 5对于任意nN*，抛物线y(n2n)x2 (2n1)x1与x轴交于An、Bn两点，以|AnBn| 表示该两点的距离，则|A1B1|A2B2| |A2011B2011|的值是( ) 答案 B 答案 A 解析 直线l2：x1为抛物线y24x的 准线，由抛物线的定义知，P到l1的距离 等
13、于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本 题化为在抛物线y24x上找一个点P，使 得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小， 最小值为 F(1,0)到直线l1：4x3y60的 距离，即dmin2，故选A. 二、填空题 7(2010泰安市模拟)如图，过抛物线y2 2px(p0)的焦点F作倾斜角为60的直线l， 交抛物线于A、B两点，且|FA|3，则抛物 线的方程是_ 答案 y23x 8已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米 时，量得水面宽8米，当水面升高1米后， 水面宽度是_米 解析 设抛物线拱桥的方程为x22py ，当顶点距水面2米时，量得水面宽8米， 即抛物线过 点(4，2)代入方程得164p p4，则抛物线方程是x28y，
