中学数学思想和方法

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1、下一页上一页讲课老师：刘艳伟中学数学思想与方法1 1n数学思想与方法n1、数学思想与方法的由来n2、数学思想方法的含义n3、数学思想方法的分类n4、数学思想与方法教学2 23 34 45 5下一页上一页数学思想与数学方法的联系与区别6 67 78 89 910101111数学思想方法分类 n数学思想方法大体上可分为三种类型 。n1.宏观型思想方法 n2.逻辑型思想方法 n3.操作技巧型思想方法 1212n宏观型思想方法，包括抽象概括、化归 方法、数学模型、数形结合方法、归纳 猜想等。其中抽象概括、数学模型、归 纳猜想等方法常常与数学知识的发生、 发现过程紧密联系，是将现实问题进行 数学化的重要

2、方法。化归方法是我们处 理数学问题的一种基本思路，具有很强 的思维导向功能。数形结合方法则反映 了数学各科之间的内部联系和统一性， 体现人们对数学的总体认识。 1313n逻辑型思想方法，包括演绎法、分类 法、完全归纳法、不完全归纳法、观 察法、类比法等，这类方法都具有确 定的逻辑结构。例如，演绎法具有严 格的逻辑表达结构。 1414n操作技巧型思想方法，包括比较法、 公式法、特殊化方法、构造法、变换 法等方法，这类方法常常用于具体解 题，具有一定的操作步骤。 1515n深入地分析这些方法，我们可以发现 ：方法本身具有层次性。例如：比较 法又有比差法和比商法等；反证法有 归谬法和穷举法；构造法有

3、构造算式 法、构造函数法、构造图形法等；变 换法有代数变换法、几何变换法、三 角变换法等，而几何变换法又有合同 变换法、相似变换法、仿射变换法、 射影变换法等。方法在应用上具有综 合性。例如，在进行因式分解时，往 往需要提取公因式法、十字相乘法、 公式法、拆补项法等同时应用； 1616n在应用分析和综合法时，又往往需要 研究其它几种方法。方法往往具有各 自不同的适用性。例如，分析法、综 合法、联想法、转化法等可适用于一 切问题的研究；而割补法、面积法、 体积法等仅适用于某些几何问题的研 究；待定系数法、消去法、代入法、 配方法等常适用于某些数或式的研究 等。方法本身也在不断完善之中，具 有发展

4、性。例如复数法、构造法、三 角法等就是近一、二十年来，有的甚 至是近年来才完善发展起来的。随着 数学的发展，人们对数学方法的认识 必将进一步提高。 1717n( 一) 抽象和概括n抽象，是人们在感性认识的基础上， 透过现象，深入里层，抽取出事物的 本质特征、内部联系和规律，从而达 到理性认识的思维方法。抽象的过程 离不开比较、归纳、分析、综合，要 经过“去粗取精、去伪存真、由此及 彼、由表及里”的加工制作过程，排 除那些无关的或非本质的次要因素， 抽取出研究对象的重要特征、本质因 素、普遍规律与因果关系加以认识， 从而为解答问题提供某种科学依据或 一般原理。 18181919n于是，就将图1抽

5、象成图2，并且将原 来提出的实际问题，抽象成能否一笔 画出图2的问题。欧拉研究了一笔画 的更一般问题，认为，一个连通图如 果可以一笔画成，则除了起点和终点 外，其余点处的连线总是一进一出成 双成对的，必有偶数条 ,这样的点称 为偶点 ,而七桥问题的点都不是偶点 ，所以不能实现一笔画，也就是不能 实现每个桥只走一次而回到原点想法 。欧拉运用了数学抽象的方法，成功 地解决了这个问题，并由此产生了数 学一个新的分支-图论。2020n2.概括，即把抽象出来的若干事物的 共同属性归纳出来进行考察的思维方 法。概括是人们追求普遍性的认识方 式，是一种由个别到一般的思维方法 。概括是以抽象为基础，抽象度愈高

6、 ，则概括性愈强，高度的概括对事物 的理解更具有一般性，则获得的理论 或方法就有更普遍的指导性。抽象和 概括是密不可分的。抽象可以仅涉及 一个对象，而概括则涉及一类对象。 2121n从不同角度考察同一事物会得到不同 性质的抽象，即不同的属性。而概括 则必须从多个对象的考察中寻找共同 相通的性质。数学思维侧重于分析、 提练、概括思维则侧重于归纳、综合 。数学中的每一个概念都是对一类事 物的多个对象通过观察和分析，抽象 出每个对象的各种属性，再通过归纳 、概括出各个对象的共同属性而形成 的。在解决数学问题方面，得出数学 的模型、模式，总结出解题的规律和 方法，都是通过分析、比较、抽象、 归纳等思维

7、环节，最后进行理论概括 的结果。 2222n例：在同一直角坐标系中作出函数： ；的图形，讨论指数函数的一般 性质。 232324242525n( 二) 化归方法n数学中充满矛盾，对立面无不在一定条 件下互相转化。已知与未知，异与同， 多与少，一般与特殊等等在一定条件下 都可以互相转化。这是唯物辩证法在数 学思想方法上的体现，转化的方向一般 是把未知的问题向已知方向转化，把难 的问题朝较易的方向转化，把繁杂的问 题向简单的方向转化，把生疏的问题朝 熟悉的方向转化。化归，即转化与归结 的意思，把有待解决的未解决的问题， 通过转化过程，归结为已熟悉的规范性 问题或已解决过的问题，从而求得问题 的解决

8、。 2626n化归思想方法是研究数学问题的一种 基本思想方法。而实现这种化归，就 是将问题不断的变换形式，通过不同 的途径实现化归，这就是化归方法， 具体的化归方法有多种，如恒等变换 、解析法、复数法、三角法、变量替 换、数形结合、几何变换等。 2727n例如中学数学教材里对于一元一次方程 和一元二次方程，已经有了固定的求解 方法、步骤和求根公式，因此，求解一 元一次方程和一元二次方程的问题属于 规范问题。而一元高次方程在中学数学 解法的基本思想就是降次，通过因式分 解或换元等方法转化成解一元一次方程 或一元二次方程。中数教材里对二元一 次方程组着重介绍了代入消元法和加减 消元法，其基本思想是

9、通过消元，把二 元一次方程组问题转化为一元一次方程 问题。 2828n解二元二次方程组就有两种思想：一 是消元，转化成一元方程；另一种是 降次，转化成一次方程组。把多元高 次方程组通过消元、降次转变成一元 一次方程来解，就是运用化归思想方 法产生出来的。 2929n(三) 数形结合的方法n从广义上来看，数学研究的主要对象是 ：现实世界的空间形式与数量关系，形 与数以及它们之间的关系始终是数学的 基本内容。与此同时，形与数是互相联 系，也是可以相互转化的。把问题的数 量关系转化为图形性质问题，或者将图 形的性质问题转化为数量关系问题，是 数学活动中一种十分重要的思想方法， 统称为数形结合的思想方

10、法。 3030n数学发展的历史表明，形与数的结合不 仅使几何问题获得了有力的现代工具， 而且也使许多代数问题获得了明显的直 观的几何解释，从而开拓出新的研究方 向。例如，笛卡尔创立的解析几何就是 运用形数结合这一思想方法的典范，通 过建立适当的坐标系，形成了点与有序 实数组以及曲线与方程之间的对应关系 ，从而把几何问题转化为代数问题，把 代数与几何结合起来，开创了数学发展 的新纪元。 3131n数形结合的思想方法在数学教学中具有 十分重要的意义，运用这种思想方法去 解决数学问题，常常可以使复杂问题简 单化，抽象问题具体化。作为数形结合 的具体方法，主要有解析法、复数法、 三角法、图解法等等。一

11、般说来，把几 何问题转化为代数问题，常用解析法、 复数法、三角法等；而把数量关系问题 转化为图形性质问题，则常用图解法， 从而化难为易，这是数形结合的数学思 想方法的具体运用。 3232n(四) 反驳n反驳是用已知为真的命题去揭露或证实另 一个命题的虚假性的逻辑方法。反驳与证 明不同，证明是确定某一判断的真实性， 反驳是确定对方论题的虚假性或不能成立 ；证明的作用在于探求真理，阐明真理， 反驳的作用则在于揭露谬误，捍卫真理。 反驳与证明又是密切联系的，如果确定了 一个判断的真实性，同时也就意味着确定 了与之相矛盾的判断的虚假性。反之，如 果确定了一个判断的虚假性，同时也就意 味着确定了与之相矛

12、盾判断的真实性。所 以，证明与反驳是相辅相成的，它们都是 人们探索真理、发展真理不可缺少的思维 形式和逻辑方法。 3333n常用的反驳法有以下三种：n1、构造一反例。即举出一个例子，说明它 具备命题的全部条件，但不具有命题的结 论。n2、假定命题成立，推出荒谬结果，从而证 明了该命题是虚假的。n例如，证明“零可以作除数”是错误的。n证明：因为2-2=3-3即2(1-1)=3(1-1)n若零可以作除数，则推出2=3这一结果，显 然荒谬。所以，“零可以作除数”是错误的。n3、论证与该命题相矛盾的命题是真实的， 根据矛盾律则推出原命题是虚假的 3434n(五) 演绎推理n演绎推理是从一般原理推出个别

13、结论的思 维方法。即一般到特殊的推理方法。其特 点是：在推理的形式合乎逻辑的条件下， 运用演绎法从真实的前提一定能推出真实 的结论。演绎推理是逻辑证明的工具，整 个欧几里得几何就是一个演绎推理系统， 19世纪数学家们由对欧几里得第五公设的 独立性的试证导致发现非欧几何。三段论 是演绎推理的主要形式，所谓“三段论”就 是由大前提、小前提、结论三部分组成。 3535n例如，凡同边数的正多边形都是相似 的。这两个正多边形的边数是相同的 ，所以这两个正多边形也是相似的。 这里有三个判断，第一个判断提供了 一般的原理原则，叫做三段论的大前 提；第二个判断指出了一个特殊场合 的情况，叫做小前提；联合这两个

14、判 断，说明一般原则和特殊情况间的联 系，因而得出的第三个判断，叫做结 论。 3636n(六) 系统化n系统化，就是将各种有关材料编成顺序，纳 入一定体系之中进行研究的一种思维方法。 它是与比较、分类、抽象、概括、具体化等 思维方法紧密联系在一起的。运用系统化方 法，有助于从整体上把握事物的内在联系， 系统、深刻地掌握知识；有助于抓住核心， 了解来龙去脉。例如，在学习了两角和与差 的三角函数的公式，倍角、半角的三角函数 公式，万能公式以及三角函数的积化和差与 和差化积公式之后，应及时指导学生把这许 多公式的内在联系和推导的线索用绘制图表 的方法进行系统的整理，这将大大有助于学 生理解、记忆和掌

15、握这些公式，这是学好三 角函数公式的关键。 3737n又如，在学习了椭圆、双曲线、抛物 线的内容之后，也应指导学生把这三 种圆锥曲线的几何条件（定义）、标 准方程、图形、性质制成图表，进行 比较，并形成系统化的知识。 3838n1.我国数学教育的现状n2.对数学思想与方法教学的认识n3.数学思想与方法教学的目标n4.数学思想方法教学的主要途径 数学思想方法的教学 3939n我国当前的数学教育存在几个方面问题 ：1、课堂教学是为了应试，教学内容 陈旧，不少课程内容远离数学发展的前 沿，最新数学成果进入课程的周期太长 。n2教学重结果，轻过程，教材所编写的 大部分是数学思维的成果概念、定理 、证明

16、，很少反映人们是怎样去想的， 即不去研究数学的思维过程。n3、重模仿，轻探索，在教学方法上教 师往往仅注重理论的完整证明与各类常 规问题的解题类型，重解题训练。 4040n长期以来，在一部分中学中大搞“题海战 术”，以此谋求所谓高分。不可否认，这 种做法对培养学生模仿能力、记忆能力 上有一定作用，学生经过反复练习，固 然能掌握一部分数学知识，但由于学生 的思维是在固定模式中机械地反复运动 ，容易形成思维上的惰性，从而导致思 维“功能的僵化”，学习缺少主动性，缺乏 判断力和独立思考能力，思想方法没有 得到应有的提高，创新能力得不到应有 的培养，学生在一旦条件、结论发生变 化时，不知所措，一筹莫展，这种得不 偿失的做法 。4141n现行的数学教学大纲都明确强调把数学 思想和方法作为基础知识的重要组成部 分，突出了数学思想和方法这个精髓， 要使学生逐步学会观察、比较、分析、 综合、抽象和概括、归纳、演绎、类比 等重要的思想方法，这是体现素质教育 精神的重要方面。这些思想方法不仅对 学习和研究数学有重要的指导意义，而 且对提高全体学生的文化科学素质，思 想素质都有重大的意义。加强