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1、第4章 控制系统的稳定性分析 江苏大学电气学院 第4章 控制系统的稳定性分析4.1 系统稳定的基本概念 4.2 李雅诺夫稳定性理论 4.4 构造李雅诺夫函数的规则化方法4.3 控制系统的李雅诺夫稳定性分析 第4章 控制系统的稳定性分析 江苏大学电气学院 第4章 控制系统的稳定性分析 重点： 1.外部稳定性和内部稳定性 2.李雅普诺夫稳定性理论3.线性系统的状态运动稳定性判据 4.构造李雅普诺夫函数的规则化方法 第4章 控制系统的稳定性分析 江苏大学电气学院 4.1 系统稳定的基本概念一. 外部稳定性 为保证以输入输出为关系来表征的线性因果系统的描述的唯一性，假定系统的初始条件为零。定义1(外部
2、稳定性) 如果存在一个固定的有限常数 及一个标量 ，使得系统的输入u(t)满足 时，所产生的输出y(t)满足称该因果系统是外部稳定的，也就是有界输入-有界输出稳 定性，简称为BIBO稳定性。 第4章 控制系统的稳定性分析 江苏大学电气学院 对于连续时间线性系统，BIBO稳定性可由输入-输出描述中的脉冲响应矩阵或传递函数矩阵进行判别。定理1(线性时变系统的BIBO稳定) 对于零初始条件的连续时间线性时变系统，设其脉冲响应矩阵为 。该系统 为BIBO稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数 ，使得一切 ， 的所有元 ( ；)均满足第4章 控制系统的稳定性分析 江苏大学电气学院 定理2(线性定常系统的
3、BIBO稳定) 对于零初始条件的连续时间线性定常系统，设其脉冲响应矩阵为 ，传递 函数矩阵函数为 。该系统为BIBO稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数 ，使得 时， 的所 有元 ( ； )均满足或者G(S)为真有理分式函数矩阵，且其所有元传递函数gij(S)的所有极点均具有负实部。第4章 控制系统的稳定性分析 江苏大学电气学院 二. 内部稳定性考虑连续时间线性时变系统，其输入 u(t)=0 的状态方程即自治状态方程为式中的A(t)为nn时变矩阵，且满足解存在唯一性条件。设系统的状态零输入响应 是由任意非零初始状态引起的状态响应。定义2(内部稳定性) 对于连续时间线性时变系统，如果由时刻t0
4、 任意非零初始状态 引起的状态零输入响应 对所有 是有界的，并满足则称该系统在时刻t0 为内部稳定。第4章 控制系统的稳定性分析 江苏大学电气学院 对于一般情况，系统(线性或非线性)的内部稳定性是指自治系统状态运动的稳定性，等同于李雅普诺夫意义下的渐近稳定。对于连续时间线性系统，内部稳定性可以由状态转移矩阵或系数矩阵直接判别。对n维连续时间线性时变自治系统，其在t0 时刻的任意非零初始状态为 ，则其状态零输入响应 为容易看到， 有界当且仅当 有界，当且仅当 。 第4章 控制系统的稳定性分析 江苏大学电气学院 定理3(线性时变系统的内部稳定) 对于n维连续时间线性时变自治系统，其在t0 时刻是内
5、部稳定(或渐进稳定)的充分必要条件是，状态转移矩阵 对所有 是有界的，并满足渐进属性定理4 (线性定常系统的内部稳定) 对于n维连续时间线性 定常自治系统系统是内部稳定(或渐进稳定)的充分必要条件是，矩阵指数函数 满足第4章 控制系统的稳定性分析 江苏大学电气学院 定理5(线性定常系统的内部稳定) 对于n维连续时间线性定常自治系统，系统是内部稳定(或渐进稳定)的充分必要条件是，系统矩阵A的所有特征值 ( )均具有负实部，即对于周期时变系统一类特殊连续线性时变系统，系统矩阵 可通过李雅普诺夫变换化为时不变矩阵 ，系统内部稳定的充分必要条件归结为要求矩阵 所有特征值均具有负实部。 第4章 控制系统
6、的稳定性分析 江苏大学电气学院 三. 内部稳定性和外部稳定性的关系 系统的内部稳定性和外部稳定性之间的关系是通过系统的内部状态表现出来，对这种关系的研究，在理论分析和工程应用上都具有重要价值和基本意义。 定理6(内部稳定和外部稳定关系) 对于连续时间线性定常系统式中， ，u为p维输入，y为q维输出。若系统为内部稳定(或渐进稳定)，则系统必为外部稳定。定理7(内部稳定和外部稳定关系) 连续时间线性定常系统如果是外部稳定的，系统未必是内部稳定的。第4章 控制系统的稳定性分析 江苏大学电气学院 1. 自治系统、平衡系统和受扰系统 系统运动的稳定性实质上归结为系统平衡状态的稳定性。直观上，系统平衡状态
7、的稳定性就是，偏离平衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素，或者使之限制在平衡状态的有限领域内，或者使之同时最终返回到平衡状态。 定义1(自治系统) 没有外加输入作用即不受外部影响的系统称为自治系统。自治系统的一般描述为式中， ， 为显含时间变量t 的n 维向量函数。(1)四. 李雅诺夫稳定性定义 第4章 控制系统的稳定性分析 江苏大学电气学院 对于连续时间线性时变系统，自治系统状态方程可表示为对于连续时间线性定常系统，自治系统状态方程又可表示为定义2(平衡状态) 对于自治系统(1)，如果存在某个状态，满足则称 为该系统的一个平衡状态。第4章 控制系统的稳定性分析 江苏大学电气学院 自治
8、系统的平衡状态 一般情况下不唯一。对于连续时间线性定常系统，平衡状态 为方程 的解。 如果矩阵A为非奇异，则 是其唯一解；但是若A为奇异矩阵，则 还有其他非零解。 在大多数情况下， 即状态空间的原点是系统的一个平衡状态。如果系统的平衡状态在状态空间中呈现为彼此分隔的孤立点，则称其为孤立平衡状态。孤立平衡状态的重要特性是，通过移动坐标系而将其转换为状态空间的原点，因此在今后的讨论中，常假定平衡状态 就是原点。第4章 控制系统的稳定性分析 江苏大学电气学院 定义3(受扰运动) 将自治系统由初始状态x0 扰动引起的一类状态运动称为受扰运动。实际上，受扰运动就是系统的状态零输入响应，起因与稳定分析中将
9、非零初始状态 x0 看成相对于零平衡状态xe=0的一个状态扰动。为了更明显的表示受扰运动中的时间关系和因果关系，可将受扰运动表示为式中， 表示向量函数，括号内分号前反映对时间t 的函数关系，分号后用以强调导致运动的初始状态x0 及其作用时刻t0 。显然，对 t=t0 ，受扰运动的向量函数满足第4章 控制系统的稳定性分析 江苏大学电气学院 在几何上，受扰运动 呈现为状态空间从初始点出发的一条轨线，对应不同初始状态受扰运动构成一个轨线族。2. 李雅普诺夫意义下的稳定 定义4(李雅普诺夫意义下的稳定) 如果对给定的任一个实数 ，都对应存在另一个依赖于 和 的实数，使得由满足的任一初始状态x0 出发的
10、受扰运动 都满足则称平衡状态 是李雅普诺夫意义下的稳定。如果 ，则称原点是李雅普诺夫意义下的稳定的。第4章 控制系统的稳定性分析 江苏大学电气学院 这个定义的几何意义是：对给定的实数 ，存在实数(其大小依赖于 和t0 )。在状态空间中以原点 为球心，分别构造半径为 和半径为 两个超球体，用、 表示它们的球域；则由球域 中任意一点出发的运动轨线 对所有，都不脱离域 的边界 。对于二维系统，上述几何意义可用上图来表示。第4章 控制系统的稳定性分析 江苏大学电气学院 在定义4中，如果与选取的初始时刻t0 无关，而只依赖于，则称平衡状态xe 是李雅普诺夫意义下一致稳定。对于时变系统，一致稳定比之稳定通
11、常更有实际意义。而对 于定常系统，平衡状态xe 为李雅普诺夫意义下稳定，则xe 一定为李雅普诺夫意义下一致稳定。 李雅普诺夫意义下稳定只能保证系统受扰运动相对于平衡状态的有界性，不能保证系统受扰运动相对于平衡状态的渐近性。所以说李雅普诺夫意义下的稳定实质上就是工程意义下的临界不稳定。 第4章 控制系统的稳定性分析 江苏大学电气学院 定义5(渐近稳定) 如果 (1) 平衡状态xe=0在时刻t0 是李亚普诺夫意义下的稳定；(2) 对于实数 和任意实数 ，都对应存在实数 ，使得满足的任一初始状态 x0 出发的受扰运动都满足则称平衡状态xe 是渐近稳定的。第4章 控制系统的稳定性分析 江苏大学电气学院
12、 上述定义的几何意义是(以二维系统为例)，见图所示。其中图 (a)反映了受扰运动相对于平衡状态的有界性，图 (b)反映了受扰运动相对于平衡状态随时间变化的渐进性。 (a)(b)第4章 控制系统的稳定性分析 江苏大学电气学院 在定义中，若 ，则有 ，所以当平衡状态是渐近稳定时，必有在定义5中，如果和T与选取的初始时刻t0 无关，则称平衡状态xe 是一致渐近稳定的。对于时变系统，一致稳定比之稳定通常更有实际意义。而对于定常系统，平衡状 态xe的渐近稳定和一致渐近稳定等价。 定义6(大范围渐近稳定) 如果以系统状态空间中的任一有限非零点为初始状态x0 的受扰运动 都是有界的，且则称系统的原点平衡状态
13、xe=0是大范围渐近稳定的。第4章 控制系统的稳定性分析 江苏大学电气学院 通常，大范围渐近稳定也称为全局渐近稳定。显然，平衡状态 xe=0 为大范围渐近稳定的必要条件是，状态空间 中不存在其他孤立平衡状态。渐近稳定的线性系统必为大范围渐近稳定。在工程问题中，通常总是希望系统具有大范围渐近稳定的特性。 3. 不稳定 定义7(不稳定) 如果不论取多大的有界实数 ，都不可能找到相应的实数 ，使得由满足的任一初始状态 出发的受扰运动 都满足则称系统是不稳定的。第4章 控制系统的稳定性分析 江苏大学电气学院 对于二维系统来说，不稳定的几何意义如图所示。由图可以 看到，如果平衡状态 xe 是不稳定的，则不管取多么大的域，也不管取多么小的域 ，总存在非零点 ，使由出发的受扰运动轨线越出 的边界 。李雅普诺夫意义下的不稳定实际上就是工程意义下的发散性不稳定。 第4章 控制系统的稳定性分析 江苏大学电气学院 李雅普诺夫稳定性是指，在系统的工作过程中，如果在受到长时间起作用的初始扰动时，经过“足够长”的时间以后，系统恢复到平衡状态的能力。 一. 李雅普诺夫第一法和第二法 李雅普诺夫第一法也称为李雅普诺夫间接法，是一种小范围稳定性分析方法。其思路是: 将非线性自治系统的运动方程在足够小领域内进行泰勒级数展开成一次近似线性化系统，再根据线性化系统特征值在复平面上的分布推断非线性化
