数理金融学第7章连续时间金融初步：期权

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1、数理金融学 第7章连续时间金融初步： 期权定价*17.1 期权（Option） 期权是一种选择权，它表示在特定的时间，以 特定的价格交易某种一定金融资产的权利。期 权交易就是“权钱交易” 。 期权交易同任何金融交易一样，都有买方和卖 方，但这种买卖的划分并不建立在商品和现金 的流向基础上。它是以权利的获得和履行为划 分依据的。 期权的买方就是支付期权费（Option premium ）的一方，在他支付了期权费之后，即获得了 能以确定的时间、价格、数量和品种买卖合约 的权利。 Date27.1.1 期权合约的概念（1）定义期权合约（ Option contracts）是期货合约的 一个发展，它与

2、期货合约的区别在于期权合约的买 方有权利而没有义务一定要履行合约，而期货合约 双方的权利和义务是对等的。 （2）基本术语行权价格（Strike price）：是买卖标的资产 (Underlying asset）的价格。它在合约有效期内是固 定不变的，而且它不一定就是资产的市价，可以高 于或低于市价，当然也可能恰好相等。Date3 期权费（Option premium）：期权买方付的购买期权 的费用，也就是买卖权利的价格。买入方支付期权费， 既可购买买权，也可购入卖权，同理，卖出方收取期权 费，既可出售看涨期权，也可出售看跌期权。 到期日（Maturity date）约定的实施期权日期。过期作

3、废，一般合约有效期不超过一年，以三个月较为普遍。 例外：长期股权期权（Long-term equity securities， LEAPS） 数量（Amount）：以股票为例，每份期权合约代表可 交易100股股票的权利，但执行价格却是按每股标出。Date4 标的资产（Underlying asset): 期权多方在支付 期权费后有权购买或出售的合约中规定的资产 。如股票期权的标的资产就是股票。 结算（Settlement)。期权交易是通过经纪人在 市场上竞价实现的，这经纪人就是期权清算公 司，它是每笔期权交易的中间人，是所有买方 的卖方和所有卖方的买方。期权清算公司采用 电脑清算每一笔合约，并

4、为其提供担保。如某 个期权卖方不履行义务，公司则必须代为履约 ，因此，期权无信用风险。Date57.1.2 期权合约的种类（1）按权利分类买权或看涨期权（Call option） ：看涨 期权的多头方有权在某一确定时间以某一确 定价格购买标的资产，但无履约义务。一旦 多方决定履约，空头必须出售资产。 卖权或看跌期权（Put option） ：多头 方有权在某一确定时间以某一确定价格出售 标的资产，但无履约义务。空头方只有履约 义务。 注意：这里看涨和看跌是以多头的收益 来命名的。Date6看涨期权看跌期权多头：买了以一定价格购买某种资 产的权利，希望标的资产价格上涨空头：卖了以一定价格购买某种

5、 资产的权利，希望标的资产价格 下跌。因为下跌多方不会履约， 则空头赚取期权费。多头 ：买了以一定价格出售某种资 产的权利，希望标的资产价格下跌 。空头：卖了以一定价格出售某种资 产的权利。希望标的资产价格上升 ，因为价格上升多方不会履约，则 空头赚取期权费。期权Date7（2）按合约是否可以提前执行（Settlement）欧式期权（European option）：只有在到期日 那天才可以实施的期权。美式期权（American option ）：有效期内任 一交易日都可以实施的期权。问题：若其他条件相同，那种期权的期权费更 高？ （3）按标的资产（Underlying asset）分类权益期

6、权：股票期权、股指期权。固定收益期权：利率期权、货币期权。金融期货期权：股指期货期权，将期货与期权 结合在一起。Date8 例1：清华同方股票期权（欧式）2001年1月1日，投资者A向B购买未来6 个月内交割的，以每股35元的价格购买清华 同方股票的权利（看涨期权），共10份合约 ， 100股为标准合约单位，该期权的总价格 为500元，即每股期权费为0.5元。概念辩析： 2001年1月1日为合约生效日 ，这里35元为行权价格，每股期权费为0.5元 ，2001年6月30日为到期日，也是执行日。A是多头，B是空头。Date9 操作步骤：2001年1月1日合约生效，投资者A必须向B付 出500元。因

7、此，不论未来的价格如何，A的成本是 500元。如果6月30日股票的价格高于35元，则A行权。 那么，A还要再付出35000元购买股票，由于股票价 格高于其成本，那么他马上将股票抛售就能获利。 问题1：若5月20日清华同方宣布它的股票以 1:10的比例进行分割，该期权合约条款是否应 该调整？ 问题2：如果预期清华同方在合约有效期内现金 分红，是否对期权价格构成影响？ Date10u如果到期日股票价格为45元，则多方的利润是多少？空方损失多少？9500u如果到期日股票价格为30元，则多方的损失为？空方获利多少？500Date11例2：投资者A购买清华同方股票看跌期权（欧式） 合约生效日：2001年

8、1月1日有效期：6个月期权费：0.5元/股合约数量：10份标准合约单位：100股执行价（行权价）： 35元/股 问题：如果6月30日清华同方股价低于34.8元，A是否行 权？假设6月30日的价格为33.5元，A将获利1000元， A如何才能获得这1000元？ Date12因为 （1）A必须持有股票1000股，才能在将来 行权时出售给B，因此，A原先有1000股。 （2）假设6月30日的价格为33.5元， A行 权，则以35元的价格向B出售1000股股票，获得 35000元。 （3）A花33500元购买1000股股票，剩余 1500元，扣除500元的期权费，A就获得1000元 。 （4）现在，A

9、拥有1000股股票加1000元现 金的资产，显然A获利1000元。Date13 看涨期权的风险与收益关系STRSTR图中：何为多方、何为空方？ 看跌期权的风险与收益关 系7.1.3 期权的风险与收益Date14看涨期权多 头的收益STXCt，若STXCt，若ST X其中，ST是到期日T标的资产的价格； X是执行价格, Ct和Pt分别是t时刻看涨期权和看跌期权的期权费。看跌期权多 头的收益X ST Pt ，若ST XPt，若ST XDate15总结 看涨期权的损益（Profit & Loss) （1）多头方：Rclmax(0,ST-X)-Ct （2）空头方：Rcs Ct -max(0,ST-X)

10、 看跌期权的损益 （1）多头方： Rplmax(0, X -ST)-Pt （2）空头方： Rps Pt -max(0, X -ST)Date167.1.4 期权的投资策略（1）保护性看跌期权（Protective put）同等数量的标的资产多头与看跌期权多 头构成的组合。组合价值至少是X-Pt，最大是ST-Pt问题：保护性看跌期权的投资策略是否违反“风险与收益 对等”原则？STXSTX 股票多头STST 看跌期权多头X-ST-Pt-Pt 总计X-PtST-PtDate17 保护性看跌期权的特征对于该组合的多方而言，其损失是有限 的，而理论收益无限 双重目的在标的资产下跌时减少损失不影响标的资产

11、上升时的获利机会所以，它对资产具有保护作用，因此，要 付出保护费！Date18（2）抛补的看涨期权（Covered call）：标 的资产多头看涨期权空头。 抛补期权空头方将来交割标的资产的 义务正好被手中的资产抵消。STXSTX股票多头STST看涨期权空头Ct-(ST-X)Ct总计ST CtXCt组合的最大价值是XCt，最小为Ct。Date19 抛补看涨期权的收益特征在获得期权费的同时，放弃了标的资产 价格上涨可能带来的获利机会。问题：投资 者希望到期日标的资产市价超过X，还是低 于X？（基于“机会（沉没）成本”的分析）若投资者手中拥有股票100元，则他可以设置一个执行价 格为110元的看涨

12、期权空头，期权费3元。若价格为到期 日资产价格为105元，则投资者获利8元。反之，若股票 价格低于100元呢？n 投资策略：尽可能设置高的执行价格X。Date20（3）对敲（Straddle），又称骑墙或者跨坐 组合： 对敲多头组合：同时买进具有相同执行价 格与到期时间的同一种股票的看涨期权与 看跌期权。（期权费可能不等？）STXSTX看涨期权多头-CtST-X-Ct看跌期权多头X-ST PtPt总计X-ST -Ct-PtST- X-Ct -PtDate21RSTRXST00RXST0Date22Date23对敲组合多头的收益特征 损失有限：若标的资产价格=执行价格， 则损失最大 （理论）收益

13、无限：收益随标的资产价格 的上升或下降而增加。 问题：对敲组合多头适用于什么样的市场 条件？当投资者预期标的资产的价格会有较大的波动， 且无法判断其方向时。例如一家企业成为兼并收购的目标时。Date247.1.5 期权与金融工程 金融工程（Financial engineering）包括 创新型金融工具与金融手段的设计、开发 与实施，以及对金融问题给予创造性的解 决。 运用期权与标的股票以及无风险债券构造 资产组合（Portfolio），可以得到与某些 金融工具有完全相同的损益特征（即模仿 金融工具），也可以合成金融工具，例如 ：可转换债券。Date25实例：模仿股票（the mimickin

14、g stock) 模仿股票是一个买权多头和一个卖权空头 的组合。 假设t时刻，股票买权和卖权的价格分别 是ct和pt，两个期权的执行价格都是XSt （t时刻股票的价格），到期日股票价格 为ST。则到期日的收益为R= max(0,ST-X)-max(0, X -ST)- (ct-pt）=ST-X-ctpt=ST- St -ctptDate26股票模仿股票模仿股票与实际股 票还是有所区别！Date277.1.6 期权的作用与本质（1）套期保值（Hedge） 利用期权损益的不对称性可以对资产进 行保值。期权的多头方相当于购买了一个保 险，期权费相当于保险费。例：假设A公司的股票当前价格为每股 60元

15、，投资者B估计股票A将上涨。投资者要 购买10000股的股票（10份期权合约）。那么 ，他有两个策略可以选择。Date28 策略1：B直接购买10,000股股票，总投资 600,000元； 策略2：B买入执行价格为60元的看涨期权，假 设期权费为3元/股，总投资30000元。 两种策略比较：若A公司的股票大幅上涨，上涨越多二者的获 利越趋向于相同（虽然策略要付出期权费，但策略1 的投资额大大多于策略2，要付出利息） 。若股票大幅下跌，策略2的损失锁定为30000元 ，策略1的损失却是无法预期的。Date29（2）高杠杆(Leverage)的投资 例4：公司股票现价为60元/股，其未来 3个到期

16、的看涨期权的期权费为2元/股， 若预期到期日的股票价格为63元，投资者 持有6000元，则两种投资策略下的损益为 ： 购买股票获利300元，利润率：5；购 买30份期权合约（100股/份）获利3000元， 利润率：50%。 若股票价格下跌到61元，期权投资亏损 6000元，股票亏损100元。 期权投资是赌博？Date30（3）期权的本质时间价值期权的购买者买到的是：降低未来不确 定性的保险。期权空头方给予多头方一段时间，使其 能够进一步利用所获得的新的信息，降低对 未来预期中的不确定程度，从而做出更加合 理的决策。投资：时间价值的交易风险的交易 。引申：由于时间的单向性，时间是最宝 贵的资源：义务=献出时间，权利=得到时间 。Date31练习题v假设有两个标的资