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1、 2-1 平面应力问题与平面应变问题在实际问题中，任何一个弹性体严 格地说都是空间物体，它所受的外力一 般都是空间力系。但是，当所考察的弹 性体的形状和受力情况具有一定特点时 ，如果经过适当的简化和抽象处理，可 以简化为弹性力学平面问题，将使计算 工作量大为减少。一、平面应力问题图21 等厚度薄板，承受平行于板面并且不沿厚 度变化的面力，同时体力也平行于板面并 且不沿厚度变化。应力特征如图选取坐标系，以板 的中面为xy 平面，垂直于中 面的任一直线为 z 轴。由于 板面上不受力，有因板很薄，且外力 沿 z 轴方向不变。可认为整个薄板 的各点都有：图21结论：平面应力问题只剩 下三个应力分量：应
2、变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。xy共六个应 力分量xy特征：1) 长、宽尺寸远大于厚度。2) 沿板边受有平行板面的面力，且沿厚度均布 ，体力平行于板面且不沿厚度变化，在平板的 前后表面上无外力作用。注意：平面应力问题z =0，但二、平面应变问题x图 22如：水坝、受内压的圆柱管道和长水平巷道等。设有很长的柱体，在柱面上承受平行于横 截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平 行于横截面并且不沿长度变化。厚壁圆筒(1) 几何特征水坝一个方向的 尺寸比另两个方向 的尺寸大得多，且 沿长度方向几何形 状和尺寸不变化。 近似认为无限长(2) 外力特征外力（体力、面力）平行于横截面
3、作用， 且沿长度 z 方向不变化。约束 沿长度 z 方向不变化。(3) 变形特征建立如图坐标系：以任一 横截面为 xy 面，任一纵向 线为 z 轴。设 z方向为无限长，则沿 z 方向都不变化，仅为 x、y 的函数。任一横截面均可视为对称面水坝所有各点的位移分量都平行于 x y 平面。 也叫平面位移问题水坝 平面应变问题注：(1)平面应变问题中但是，(2)平面应变问题中应力分量： 仅为 x、 y 的函数。如图所示三种情形，是否属平面问题？是平面 应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题 -空间问题三. 平面问题的求解问题：已知：外力（体力、面力）、边界条 件，求： 仅为 x、
4、 y 的函数 需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：（2）几何学关系：应力与体力、面力间的关系；应变与位移间的关系； 平衡微分方程 几何方程（3）物理学关系：应变与应力间的关系。建立边界条件： 物理方程（1）应力边界条件；（2）位移边界条件；（3）混合边界条件；2-2 平衡微分方程无论平面应力问题还是平面应变问题，都是 在xy平面内研究问题，所有物理量均与z无关。下面讨论物体处于平衡 状态时，各点应力及体力的 相互关系，并由此导出平衡 微分方程。从图21所示的 薄板取出一个微小的长方形 PACB (图23），它在z方 向的尺寸取为一个单位长度 ，在x方向和y方向上的长度 分别为dx和dy。图
5、23设作用在单元体左侧面 上的正应力是 。图23右侧面上坐标x得到增量 dx，该面上的正应力为 ，将上式展开 为泰勒级数：略去二阶及二阶以上的微量后便得 同样 、 、 都一样处理，得到图示应力状 态。对平面应力状态考虑体力时，仍可证明切 应力互等定理。以通过中心D并平行于z 轴的直 线为矩轴，列出力矩的平衡方程 ：将上式的两边除以 得到：令 ，即略去微量不计，得：下面推导平面应力问题的平衡微分方程，对单元 体列平衡方程：即有平衡微分方程：这两个微分方程中包含着三个未知函数 。因此决定应力分量的问题是超静定的，还必须 考虑形变和位移，才能解决问题。 对于平面应变问题,虽然前后面上还有 ,但它们完全不影响上述方程的建立。所以上述 方程对于两种平面问题都同样适用。解：选择坐标系如图。 因表面无任何面力， 、 、 = 0, 故表面上在近表面很薄一层 接近平面应力问题。例题1（习题2-3）试分析说明,在不受任何面力作用的 空间体表面附近的薄层中,其应力状态接近于平面应力 状态。解：根据题意，本题中只有 ， 且为oxyz例2（习题2-4）试分析说明,在板面上处处受到法向约 束且不受切向面力作用的等厚度薄板中,在板边上受到 xy向的面力和约束且不沿厚度变化时，其应变状态接 近于平面应变状态。
