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1、一、调和函数概念二、解析函数与调和函数的关系三、共轭调和函数7 解析函数与调和函数的关系调和函数若二元实变函数在区域D内有二阶连续偏导，且满足拉普拉斯方程则称为D内的调和函数。定理任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数。证明： 设为D内的解析函数，则从而由解析函数高阶导数定理知：具有任意阶的连续偏导数。所以从而同理故都是调和函数。共轭调和函数设为区域D内给定的调和函数，使在D内构成解析函数的调和函数称为的共轭调和函数。即：区域D内的解析函数的虚部是实部的共轭调和函数。此结论说明：已知一调和函数可利用CR方程求得它的共轭调和函数从而构成一解析函数思考题解：不对，因为都调和，所
2、以又因为从而故此命题除 为常数外均不成立。例1证明为调和函数， 并求其共轭调和函数和由它们构成的解析函数。解：因为所以故为调和函数。由得由得故从而得到解析函数此函数可化为注意已知解析函数的实部，可确定它的虚部，至多相差一个任常数。类似地，由解析函数的虚部可确定它的实部。例2 已知一调和函数求一解析函数使解：因为由得由得故因此而由得所以所求解析函数为不定积分法由前面定理知：解析函数的导数仍为解析函数，且所以积分得例3 设解：所以一、主要内容二、主要方法三、典型习题一、主要内容2、定理：柯西古萨定理、闭路变形原理、复合闭路定理、柯西积分公式、高阶导数公式柯西古萨定理如果函数在单连域B内处处解析，那
3、末函数沿B内任一闭曲线C的积分为0。即如果函数推广：在以简单闭曲线C为边界的有界闭域上解析，那末 如果函数在以简单闭曲线C为边界的单连域B内解析，在 上连续，则刻化解析函数的两个等价定理在区域D内解析在区域D内解析闭路变形原理在区域D内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在D内作连续变形而改变积分的值，只要在变形过程中曲线不经过 不解析的点。即：DLC复合闭路定理设C为多连域D内的一条简单闭曲线，是C内部的简单闭曲线，它们互不包含为边界的区域全含于D。如果在D内解析那末：也互不相交，并且以1）均取正向2）为由C及所组成的复合闭路。即沿正向进行时，其内部总在其左侧。DC柯西积分公式如果在区域
4、D内处处解析，C为D内的任一条正向简单闭曲线，它的内部全含于D，为C内任一点，则定理的内涵：一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界 上的值通过积分来表示。如果解析函数在区域边界上的值为1，那末此函数在区域内 的值也处处等于1。高阶导数公式解析函数的导数仍为解析函数，它的n阶导数为：C为绕的任一正向简单闭曲线。D为解析区域。定理的内涵：解析函数的导数仍为解析函数且无限次可微。故任 意阶偏导都存在且连续。3、解析函数与调和函数的关系u 是 调和函数v 是 调和函数共轭调和二、主要方法沿非封闭曲线积分1、复积分方法（1）当为连续函数且C为光滑曲线时，（2）当在单连通域B内处处解析，则为域B内的两点
5、。沿封闭曲线的积分（2）如果在单连通区域B内处处解析，则（1）用参数方程计算（4）被积函数在C内有多于一个的奇点在C内分别作包含各个奇点且互不包含互不相交的正向简单闭曲线，然后利用复合闭路定理及（2）中的公式。（3）被积函数在C内有一个奇点2、已知解析函数的实部或虚部求解析函数的方法由C-R方程有：再利用已知 u，则可知因此已知 u，则可知（1）偏积分法：（2）不定积分法：（3）线积分法： u为解析函数 的实部，则为调和函数，故有：即由高数知必存在一个二元函数v使三、典型习题是否成立？若成立，给出证明；若否，举例说明1、设 在单连通域B内处处解析，C为B内任一条正向简单闭曲线，问解：不一定成立
6、。令则所以所以同样方法可求得但事实上2、下列两个积分的值是否相等？积分（2）的值能否利用闭路变形原理从（1）得到？为什么？解： （1）注意：不解析，不能用柯西积分公式（2）因为不解析，不能利用闭路变形原理得到。只能利用参数方程计算。 3、利用积分计算以下实积分解：由柯西积分公式知：另外所以4、求解：被积函数在内有两个奇点，故利用复合闭路原理。作两个圆：所以5、设它们所围的区域分别为解：因为BMN故BMN由柯西-古萨定理所以即6 、证明：因为在C上及C内处处解析，由柯西积分公式知：因为在C上有所以由的任意性知结论成立。7、设区域D是圆环域， 在D内解析，以圆环的中心为中心作正向圆周之间的任一点，证明：证明：在圆环内作包含 的一个圆周K，然后作连线AB，CD，EF，ABC DE FMN则曲线ANFEDCBA和ABCDEFMA为两条全在D内的简单闭曲线，故三条线段分别走两次且方向相反，积分值抵消所以将上式中的 换成同样成立。所以8、求具有形式 的所有调和函数u解：u为调和函数,所以即10AB9、设区域D为右半平面， 为D内圆周 上任一点，用在D内的任一条曲线C连结原点与 ，证明证明：取路径C为线段OA+弧AB下面证明通过计算可知分子的实部为0，故
