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1、 二、 作业讲析三、 典型例题讲析四、 练习题一、 内容总结内容总结1、微分中值定理，LHospital法则理解Rolle定理和Lagrange中值定理，会运用 其证明一些命题、等式及不等式了解Cauchy中值定理和Taylor中值定理的条件，会用Taylor公式进行近似计算熟练掌握LHospital法则2、导数的应用掌握利用函数导数的符号判定函数单调性的方法掌握利用函数单调性证明不等式的方法理解极值的概念，掌握极值点的判定和极值的求法了解函数曲线的凹凸性与拐点的概 念，掌握曲线的凹凸性与拐点的判定 会利用函数的单调性、极值、凹 凸性、拐点、渐近线等性态描绘函数的图形明确函数的最值与极值在概念
2、上的区别，掌握最值的求法及其简单应用作业中问题的讲析典型例题讲析例1分析 要证 ，即要证设函数(x) 在a, b上连续，在(a, b)内可导，证明 在(a, b)内至少存在一点，使或 可取 F(x) = (b-x)(x) -(a)，利用罗尔定理证明. 证明 令 F(x) = (b-x)(x) -(a)，则有F(x)在 a, b上连续、在(a, b)内可导，且有F(a)=F(b) = 0，由罗尔定理知 (a, b)，使 ，即例2设 f (x) 在a, b上连续、在(a, b)内可导(a 0, b0), 求证方程在(a, b)内至少有一个实根. 分析 不可用介值定理证明 ( 不一定连续) ；考虑中
3、值定理，为此方程变形为则若取有且证明 令则F(x)也在a, b上连续、在(a, b)内可导，且由罗尔定理知 (a, b)，使 ，即或又证 取函数 f (x)和F(x)=lnx，用柯西中值定理.即 为原方程的一个实根.下面的证法为什么错了？f (x)在a, b上满足拉格朗日中值定理条件，故有又令F(x)=lnx ，它在a, b上也满足拉格朗日中值定理条件，故有两式相除得即故 为原方程的一个实根.例3讨论函数 在x=0点的连续性.解其中故又而故 f (x) 在 x=0点连续.例4解求下列极限：故该极限不存在.注意：这里不是不定式，不能用罗必达法则.例5解求下列极限：总结：求函数的极限，不要拘 泥于
4、LHospital法则，综合运用 所学的方法，往往会有事半功 倍的效果.例6当k为何值时,方程 x-lnx+k =0在区间(0,+) 上(1)有相异的两个实根,(2)有唯一的实根,(3)无实根?解 记 有，故 x=1为极小值点，又 f(x) 在(0,+)内只有一个驻点，所以f(1)为 f(x) 在(0,+)内的最小值，且 fmin= f(1)=1+k又(1)当1+k0, 即k-1时,原方程无实根.于是例7解证明当 时，sinx + tanx 2x取因此 在 上严格单调增，故从而 f (x) 在 上严格单调增，即亦即 sinx + tanx -2x 0或 sinx + tanx 2x例8曲线 上
5、那一点处的法线在y轴上的截距最小？解设 在(x, y)处的法线为因 故 法线方程为整理后为法线在y 轴上的截距为求其极值：令 解得 x1=1, x2= -1(舍去),故b(1)极小值，亦即最小值，从而在点(1, 1/3)处，曲线的法线在y轴上的截距最小.例9当 a,b为何值时, 点(1,3)为曲线的 y=ax3+bx2 拐点？解令 得当 时， ， 曲线在 上严格上凸；当 时， ，当 时，曲线在 上严格下凸；于是点 为曲线唯一的拐点. 而要使(1,3)为拐点, 须 ,即课内练习题1. f (x)在0,1上可导，00)有几个实根？4.证明不等式5. 讨论函数 的性态，并作图.课外练习题6. 设 f
6、 (x) 在a,b上连续，在(a,b)内二阶可导. 连接点A(a, f (a)和B(b, f (b)的直线段 AB 与曲线 y= f (x) 相交于点C(c, f (c) (ag(0)=0故从而 f (x) 在 上严格单调增，因此 f (x) f (0) = 0，即(2)提示：取 f (t)=tlnt, t(0,+)，证明该函数严格下凸.4(1)取 则有再取x (-,-3) -3(-3,-1) (-1,0) 0 (0,+)+ 0 - + 0 +- - - - 0 +极大值-27/4拐点(0,0)5. 曲线有两条渐近线：x=-1, y=x-2，性态列表如下：6.提示：对f (x)分别在a,c和c,b上运用拉格朗日中值定理，再对 在1, 2上运用罗尔定理.7.(1) (2) e (3) (4)8.提示：分别将f (a) 和f (b)在点(a+b)/2展开成泰勒公式，再相加.9.设底宽x，则周长函数为可求得底宽为 时截面周长最小.
