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1、第三章 分层随机抽样3.1 定义与符号 一、分层抽样（stratified sampling)、分层随机抽样 (stratified random sampling) u分层抽样：将容量为N的总体分成L个不相重叠的子总 体，子总体的大小分别为N1、 N2、 NL，皆已知，且则每个子总体就称为层。从每层中独立地进行抽样， 这样的抽样方法称为分层抽样。 u分层随机抽样：在分层抽样中，如果每层中的抽样都 是简单随机抽样，则这样的分层抽样称为分层随机抽 样。二、分层抽样的适用场合 不仅需要估计总体参数，也需要估计各层参数。 便于管理，按现成的地理分布或行政划分来分层。 希望样本中能包含各个部分，以增加
2、代表性。 把一个内部差异很大的总体分成几个内部比较相似的 子总体（层）进行分层抽样，可以提高估计量的精度 。如果有极端值，也可以把它们分离出来形成一层。 即“层间方差大，层内方差小”。三、进行分层抽样时，应注意的方面 层内抽样设计的选择。 分层变量的选择。 各层样本量的分配，样本总量的确定。 层数。 层的分界。3.2 简单估计量及其性质对总体均值或总值的估计：例3.1 总体由1000人组成，按以往的收入情况将总体分成 两层：第一层（高收入层），20人；第二层（低收入层 ），980人。从第一层随机抽取2人，调查上月收入，得 数据（单位：元）1200及1600；从第二层随机抽取8人， 调查上月收入
3、，得数据（单位：元）220、230、180、 320、400、340、280、360。估计这1000人上月平均收入 。 解：对比：一、分层抽样中，例3. 调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民 户为抽样单元，根据经济及收入水平将居民户分为 层，每层按简单随机抽样抽取户，调查数据如下 ，估计该地区居民奶制品年消费总支出及估计的标准 差。 样本户奶制品年消费支出 层层居民 户总户总 数样样本户户奶制品年消费费支出123456789101200104001101510408090024005013060801005516085160170375018026011001406020018030022
4、0415005035150203025103025解：（3）该地区居民奶制品年消费总支出的置信度为95%的 置信区间为例3.3：某市进行家庭收入调查，分城镇居民及农村居 民两部分抽样，在全部城镇居民23560户中随机抽取 300户，在全部农村居民148420户中随机抽取250户 ，调查结果是城镇年平均户收入为15180元，标准差 为2972元；农村年平均户收入为9856元，标准差为 2546元。求全市年平均户收入的置信度为90%的置信 区间。 解：3、分层随机抽样中，总体比例P的简单估计估计的性质 （1）（2）(3 )(4 )4例3.4：在某行业技术人员中，按年龄分层，调查会使用 计算机者所占
5、的比例。数据如下：试估计总体中会计算机者占的比例。层层人数入样样人数样样本中会使用 计计算机的人数30岁岁以下7781712430-35岁岁7497681236-40岁岁9779892241-45岁岁4627421145岁岁以上5366504总计总计35050320解：3.3 比率估计量及其性质在大样本时，1. 分别比估计：若 各层的样本量比较大时，各层可分别进行比估 计，再进行加权平均，所得估计量称为分别比估计。2. 联合比估计：若 某些层的样本量比较小时，可以采用联合比估计。先按分层随机抽样公式估计Y和X ，然后用 它们构造比估计，所得估计量称为联合比估计。3.各层分别比估计量与联合比估
6、计量的比较 从偏倚的角度看，各层分别比估计量 的偏倚较大，从方差的角度看，除了各 层比率 均相等时， 外， 一般只要各层的样本量均较大时，各层 比估计更加有效，即有： 因此,当 均大时,用分别比估计量 否则 ，用联合比估计量 较好。 如果各层的样本量 不大，或者各层的比率 差异较小（成本考虑 近似成立，联 合比估计并非更好，而只是与分别比估计相 当，但联合比估计本身由于只需知道辅助变 量总的特征而非各层特征故显得便宜），则 应优先采用联合比估计，这在直观上也是比 较容易理解的。比率估计量运用举例 例：某县欲调查某种农作物的产量，由于平原和山区 的产量有差别，故拟划分为平原和山区两层采用分层 抽
7、样。同时当年产量和去年产量之间有相关关系，故 还计划采用比估计方法。已知平原共有120个村，去 年总产量为24500（百斤），山区共有180个村，去年 总产出为21200（百斤）。现从平原用简单随机抽样 抽取6个村，从山区抽取9个村，两年的产量资料列在 下表中。试用分别比估计与联合比估计分别估计当年 的总产量，给出估计量的标准误，并对上面的两种结 果进行比较和分析。 平原样本去年产量/百斤 当年产量/百斤 1204210 214316038275 42562805275300 6198190山区样本去年产量/百斤当年产量/百斤1137150 2189200 3119125 46360 5103
8、110 61071007159180 8637598790解：根据题目中已给出的已知条件，将去年总产量作为辅助变量X,计算整 理得：层（ h）平原 （1 ）120624500202.51931.0490.99086757.55132山区 （2 ）180921200121.1114.11.0610.98812242.361788.11 (1) 分别比估计：根据 ， ，可 得分别比估计的标准误：将表中数据代入，得因此，分别估计的标准误为 （2）联合比估计：根据可得联合比估计的标准误：将表中数据和 代入，得 因此，联合比估计的标准误为可见，此时的分别比估计和联合比估计差 异不大，联合比估计的精度略高
9、于分别 比估计。3.4 回归估计量及其性质在大样本时，1. 分别回归估计：若 各层的样本量比较大时，各层可分别进行回 归估计，再进行加权平均，所得估计量称为分别回归估计。 当各层的理论回归系数之间有较大差异时 ，考虑用此法。 当 为设定的常数(如 = )时， 是 的无偏估计量，且在(h=1、2、L) 时达到极小值 ： 当回归系数需从样本估计时，令为 的最小二乘估计。当每层 的 都较 大时, 其估计量为2. 联合回归估计：若 某些层的样本量比较小时，可以采用联合回归 估计。对两个指标先求总体均值或总和的分层估计，然后用它们 构造回归估计，所得估计量称为联合回归估计。 当 事先设定(如 =B )时
10、， 也是 的 无偏估计,且当 时方差达到极小值式中即 是各层回归系数 的加权平均值。由所以对于最优的 的选择，除非各层的 ，否则，分别估计优于联合估计。 当回归系数需从样本估计时，令作为 的样本估计。 若是按比例分配的，用 代替 -1，则上 式简化为 此时其估计量为= 总结：若确信每层中的回归线性很好, 又不大， 的变化也不大，则应采用 ；而当回归是线性的，但 的变化很大 ， 都比较大时，应采用 ；若回归的 线性不好，除非 都相当大，否则还是 用 比较保险。3.5 各层样本量的分配在分层随机抽样中，假设样本量n固定样本量分配对精度的影响 在分层随机抽样中，若样本量n固定， 则它在各层的不同分配
11、，也即取不同的，将对估计量的精度有影响。 1）各层大小或权重不同； 2）各层的标准差有差异。 例：某个总体分为三层，其层权 及 标准差 见下表。设总样本量为300 ，考虑4种不同的样本量分配，并计算 出每种分配下，总体均值估计量的方差 。样本量的不同分配对方差的影响h常 数 分 配与 成 正比与 成 正比与 成正比10.220100 49604020.330100 110909030.534100 1411501703.8 63.113.093.001.比例分配：指按各层层权（各层单元数占总体单元数的 比例）进行分配。 当估计比例P时，同样有：例1：假设某公司欲估计某类产品的用户的每年平均支出
12、 。企划人员拟就整个潜在用户的名单，共8000户。采用分层随机抽样抽取样本200户，求按比例分配时 各层样本量。层层每层层中的潜在用户户少用2000中等4000多用2000总总和N=8000解：例2： 某电视台要在某地区的住户中,调查该台的晚间新 闻的收视率。该地区包括3个县,共有67401家住户。假 定该电视台采用等比例分层随机抽样分别从三个县抽 取住户，样本量为1500。每个县的总户数以及抽样数 据列表如下：求该地区新闻收视率的95%的置信区间。县县 i每个县县的户户数 Ni每个县县被抽出 的户户数ni 每个县县的样样本收 视视率 pi1 2 348107 124196875 107127
13、6153 0.27 0.18 0.17合计计N=67401n=1500解：分层随机抽样时，收视率P的估计为：收视率P的置信度为95%的近似置信区间为：即有95%的把握可以认为，该地区的新闻收视率在22.1% 26.5%之间。2.最优分配：例3.3：某市进行家庭收入调查，分城镇 居民及农村居民两部分抽样，在全部城 镇居民23560户中随机抽取300户，在全 部农村居民148420户中随机抽取250户 ，调查结果是城镇年平均户收入为 15180元，标准差为2972元；农村年平 均户收入为9856元，标准差为2546元。 求全市年平均户收入的置信度为90%的 置信区间。例3： 在例3.3中，样本量仍
14、为n=550。城镇居民23560户，农村居民148420户。城镇居民与农村居民的年收入的标准差分别为S1=3000元 ,S2=2500元。对城镇居民与农村居民抽样平均每户的费用比为1：2。试求城镇与农村两层比例分配与最优分配的样本量。又若 不考虑费用因素，那么最优分配的结果如何？解 ：例4：调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为 抽样单元，根据经济及收入水平将居民户分为层， 每层按简单随机抽样抽取户，调查数据如下，估 计该地区居民奶制品年消费总支出及估计的标准差。 则按比例分配和Neyman分配时，各层的样本量为多少 ？ 表：样本户奶制品年消费支出层层 居民 户总户总 数样样本户户奶制品
15、年消费费支出1234567891012001040011015104080900240050130608010055160851601703750180260110014060200180300220415005035150203025103025解：按比例分配时，对于Neyman分配，某些层需要超过100%抽样时的 修正 若抽样比较大，而个别层的 也很大，则按最优分配，一些层的 有 可能超过 (即 1)。这时，可以对 这些极端层进行100%抽样。然后将剩 下的其余的层可用的样本量再按最优分 配法在其它各层间重新进行分配。 以内曼分配为例，其具体步骤如 下： 假定： ,则令 。对 部分 作内曼分配： 此时，若所有的 （h2)则分配合 理。否则，若有 ：，则 对 部分再作内曼分配： 若所有
