《通信网理论分析基础(苏驷希)(北京邮电大学） ch2 通信信源模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《通信网理论分析基础(苏驷希)(北京邮电大学） ch2 通信信源模型（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 通信信源模型和 M/M/1排队系统2.1泊松过程n2.1.1 Poisson过程n下面通过描述到达电话交换机的呼叫流 来引入Poisson过程。n到达交换机的电话呼叫流或顾客在一定 条件下满足下面几个条件：n（1）平稳性:在区间 内有k个呼叫 到来的概率与起点a无关，只与时间区间 的长度有关，这个概率记为 n（2）无后效性：不相交区间内到达的呼 叫数是相互独立的；n（3）普通性:令 表示长度为t的区间 内至少到达两个呼叫的概率， 则 n（4）有限性：在任意有限区间内到达有 限个呼叫的概率为1，即 n这种输入过程容易处理，并且应用广泛 ，被称为Poisson过程。n下面定理2-1描述了P
2、oisson过程的特点， 并且（2-1）计算了在长度为t的时间内到 达k个呼叫的概率。n定理2-1 对于Poisson呼叫流，长度为t的 时间内到达k个呼叫的概率 服从 Poisson分布，即n ， （2-1）n其中 0为一常数，表示了平均到达率 或Poisson呼叫流的强度。 n在参数t固定的情况下， 如果用 表达 内到的呼叫数 n例2-1：计算 的方差 和期望。nPoisson过程是一个很简单的随机过程， 有许多良好的性质，在一定条件下将被 用来模拟到达网络节点的电话呼叫流或 数据包流，模拟到达网络的各种信源。nPoisson过程在任何时间区间内的到达率 都是一样，如果到达率随着时间变化，
3、 在习题2.9中有一个广义Poisson过程，它 的到达率可以随着时间变化。 2.1.2 Poisson过程的性质n性质2-1：m个Poisson流的参数分别为 ， ， ，并且它们是相互独立的 ，合并流仍然为Poisson流，且参数为 。n这个性质也就是说独立的Poisson过程是 可加的。n性质2-2：参数为 的Poisson流 到达交换局A后，每个呼叫将独立去两个 不同方向，且去两个方向的概率分别为n n则Poisson流被分解为两个独立的Poisson 流，参数分别为 2.2 Poisson过程和负指数分布的关系n随机变量X满足 ，或分布函 数为：n n这个分布被称之为参数 的负指数分布
4、 。n这个分布的概率密度函数为： n例2-2：计算参数为 的负指数分布的均值 和方差 。n关于负指数分布，有如下无记忆特性：n性质2-3：假定 服从参数为 的负指 数分布，对任意 有n n这个性质实际上表明负指数分布的残余 分布和原始分布服从一致的分布，这个 性质也被称为无记忆性。n可以证明具有性质（2-3）的连续分布一 定是负指数分布。n性质2-4：假设 为相互独立的两个负 指数分布，参数分别为 ，令则：n（1） 是一个以 为参数的负指数 分布；n（2） 的分布和 谁是较小数无关；n（3） n定理2-2：一个随机过程是参数 的Poisson 过程的充分必要条件为呼叫到达间隔 相互独立，且服从
5、相同参数 的负指数分 布。2.3生灭过程n生灭过程是一种特殊的离散状态的连续 时间马尔可夫过程，或被称为连续时间 马尔可夫链。n生灭过程的特殊性在于状态为有限个或 可数个，并且系统的状态变化一定是在 相邻状态之间进行。n生灭过程的极限解或稳态解有很简单的 形式。 生灭过程定义n如果用 表示系统在时刻 的状态， 取非负整数值。如果 ，称在时刻 系统处于状态 。当满足下面几个条件 时系统称之为生灭过程。n（a）在时间 内系统从状态 转移到 的概率为 ，这里 为在状态 的出生率； n（b）在时间 内系统从状态 转移到 的概率为 ， 这里 为在状态 的死亡率；n（c）在时间 内系统发生跳转的 概率为
6、；n（d）在时间 内系统停留在状态 的概率为 ；生灭过程的状态转移图 生灭过程的稳态分布 n首先 ， 表示系统从 状态 经过时间 后转移到 的条件 概率，则n 稳态分布必要条件极限定理 n定理2-3：对有限状态的生灭过程或对满 足条件n n的可数状态的生灭过程，稳态分布存在 ，且与初始条件无关。n关于生灭过程中微分方程和稳态方程的 建立可以依照下面图2-3简单完成 2.4 M/M/1排队系统 2.4.1排队系统概念n在实际应用中，有一大类被称之为随机 服务系统或排队系统。在这些系统中， 顾客到来的时刻与进行服务的时间都是 随机的，会随不同的条件而变化，因而 服务系统的状况也是随机的，会随各种
7、条件而波动。n在电信网络中，交换机就可以看成一种 随机服务系统，对于不同的电信网络， 未来将使用不同的排队系统模拟不同的 电信业务交换机进行分析。n在下图的图2-4中表达了一个排队系统的 模型。n在图2-4中，外界到来一个顾客流，当顾 客到达系统后，如果有空闲的服务员就 得到服务。如果没有空闲的服务员，有 两种可能情况，或者可以排队等待，或 者系统拒绝该顾客。n要仔细描述一个排队系统，主要需要描 述3个方面的内容：（a）输入过程；（b ）服务时间；（c）排队方式等。下面使 用一个随机点移动模型来说明关于排队 系统的模型和假设 .排队系统的假设 n在轴上有一些点从左向右做同速率的匀 速直线运动，
8、图2-5中的 表示顾 客到达排队系统的到达间隔，它们均为 随机变量； 表示不同顾客的服务 时间，它们也是随机变量，关于 ， 满足下面3个假设：n（1）n（2）n（3）n在上面这个假设的基础上，排队系统将 相对容易处理并可以根据 将不同 的排队系统分类。n首先，输入过程和服务时间可以分别使 用一个分布来表示；一般，M表示到达为 Poisson过程或服务时间为负指数分布， G表示一般分布，D表示确定性分布等等 。n在排队方式和队列的内容中主要包括服 务员的数目，系统中等待顾客的排队方 式和队列的容量等。n排队的方式可以有先进先出（FIFO）， 后进先出（LIFO），优先级服务和随机 服务等不同方式
9、。n队列的容量表示系统中对顾客总数的限 制，如果队列的容量和服务员数目相同 ，表明系统不可以等待为即时拒绝系统 ；如果队列的容量为无限大，系统为不 拒绝等待系统等。n关于不同排队系统的记法采用肯德尔（ D.G. Kendall） 的记号A/B/C/D/E。A表 示输入过程；B表示服务时间；C表示服 务员数目；D表示系统的容量；E表示排 队规则，其中D/E的缺省表示容量无限大 和FIFO方式。如M/M/s， G/G/1等。 n对于排队系统到达率 ，服务率 ，有时服务率也被称为离去率。n对于排队系统的分析，主要希望得到： （1）队长分布或其各种统计值及其估计； （2）等待时间分布或其各种统计值及其
10、估 计。2.4.2 Little公式nLittle公式描述了任意排队系统满足的关 系，下面通过简单描述来说明该公式。n如果 表示系统中的平均顾客数， 表 示顾客在系统中的平均时间（这个时间 有时也被称为系统时间）， 表示单位 时间到达系统的顾客数，对于任意排队 系统，有 2.4.3 M/M/1n假设M/M/1的到达过程为一个参数为 的Poisson过程，服务时间是参数为 的负指数分布，如果用系统中的顾客数 来表征系统的状态，容易验证这是一个 生灭过程，并且n 令 ，根据生灭过程的性质n在 时 nM/M/1的队长分布 n稳态时，队长的均值和方差可以分别求 解如下：n顾客停留在系统中的平均时间 ： n假设 为顾客到达时看到的队长分布， 这个分布在许多情形下不同于稳态分布 ，不过在到达过程为Poisson过程时 和 是一样的。n假设 为服务时间， 为等待时间， 为顾客在系统中的停留时间，也称之为 系统时间， 。n定理2-5：M/M/1排队系统在稳态时，系 统时间 服从参数为 的负指数分 布。习题 n2-1 n2-2 n2-3 n2-4 n2-7
