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1、弹塑性力学授课教师：龙志飞 目录 第 一 章 绪论第 二 章 应力分析第 三 章 应变分析第 四 章 应力应变关系第 五 章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理 DateDate1 1第 六 章 弹性力学平面问题的直角坐标系解答第 七 章 弹性力学平面问题的极坐标系解答第 八 章 等截面直杆的扭转第 九 章 空间轴对称问题第 十 章 弹性力学问题的能量原理第 十一 章 塑性力学基础知识弹塑性力学 DateDate2 21.徐芝纶， 弹性力学：上册.第三版,高等教育出版社.1990年2.陆明万.罗学富,弹性理论基础,清华大学出版社. 1990年3.杜庆华.余寿文.姚振汉,弹性理论,科学出版社.
2、 1986年4.王龙甫,弹性理论.第二版,科学出版社. 1984年5.吴家龙,弹性力学：高等教育出版社.2001年参考书目 DateDate3 31-1 弹塑性力学的任务和对象第一章 绪论1-2 1-2 基本假设和基本规律基本假设和基本规律1-3 1-3 弹性力学的研究方法弹性力学的研究方法1-4 1-4 弹性力学的发展梗概（略）弹性力学的发展梗概（略） 1-5 1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识量基本知识 * *4 41-1 弹塑性力学的任务和对象1.1 任务：弹塑性力学是固体力学的一个分支学科， 它是研究可变形固体当受到外部因素（如载荷 作用、温度变化、边界
3、约束移动等）作用时， 研究变形固体的变化和内力，为保证变形体或 结构在使用周期内有足够的强度、刚度和稳定 性，提供设计和施工（制造）的依据。DateDate5 51-1 弹塑性力学的任务和对象弹塑性力学是根据固体材料受外因 作用时所呈现的弹性与塑性性质而命名 。它们是固体材料变化过程的两个阶段 。DateDate6 61-1 弹塑性力学的任务和对象当外部因素作用时，固体发生变形，如果当 外因去掉，变形体恢复原样（状），称固体 （材料）处于弹性性质， 单值；DateDate7 71-1 弹塑性力学的任务和对象如果当外因去掉，变形体未能恢复原状并 存在永久变形，变形固体在外因作用时已进 入塑性阶段
4、， 曲线不是单值函数。当然变形体常遇到在物 体某一局部处于弹性、而另 一区域处于塑性状态，弹塑 性交织在一起 。DateDate8 81-1 弹塑性力学的任务和对象1.2 研究的对象： 材料力学和结构力学是大学的主干课程 ，它们也是固体力学中较基本的力学课程。 在许多工程设计中，工程师运用它们进行设 计和计算，但它们研究的对象单一：杆件型 构件或杆系结构，（一维问题），具有局限 性。DateDate9 91-1 弹塑性力学的任务和对象1.2 研究的对象： 弹塑性力学研究的对象就广泛的多，除 了杆件外，二维、三维实体结构、板、壳结 构。所以弹塑性理论基本方程要复杂的多， 具有一般性。 DateD
5、ate10101-2 基本假设和基本规律2.1基本假设假设1：固体材料是连续的介质，即固体体积 内处处充满介质，没有任何间隙。从材料的微观看此假设不正确。因为粒子 间有空隙，但从宏观上看作为整体进行力学分 析时，假设1是成立的。假设1的目的：变形体 的各物理量为连续函数（坐标函数）。DateDate11111-2 基本假设和基本规律假设2：物体的材料是均匀的。认为物体内 各点的材料性质相同（力学特性相同），所 以从物体内任一部分中取出微元体进行研究 ，它的力学性质代表了整个物体的力学性质 。DateDate12121-2 基本假设和基本规律假设3：小变形假设。物体在外因作用下，物 体产生的变形
6、与其本身几何尺寸相比很小。假设4：应力与应变关系为线性。此假设适 用于线弹性理论。DateDate13131-2 基本假设和基本规律2.2 基本规律完成弹塑性力学任务所要遵循的三个基 本规律（或应满足的三方面的条件）：1. 平衡规律：固体受到外力与自身的内力要 满足平衡方程，在弹性理论中它们为微分方 程（3个）。DateDate14141-2 基本假设和基本规律2. 几何连续性规律：要求变形前连续的物 体，变形后仍为连续物体，由这个规律建立 几何方程（6个）或变形协调方程，均为微 分方程。DateDate15151-2 基本假设和基本规律3. 物理（本构）关系：应力（内力） 与应变（变形）之间
7、的关系，据材料的 不同性质 来建立，最常见的为各向 同性材料。 在线弹性中本构方程为线性代数方程 （6个）。DateDate16161-3 弹性力学的研究方法数学方法：精确解法（解析解）、近似解法、数值解法。 实验方法：电测方法、光测方法等。1-4 1-4 弹性力学的发展梗概（略）弹性力学的发展梗概（略）DateDate17171-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识 由于弹性力学研究对象的普遍性，导致方 程也较繁杂，推导也同样复杂，为了使得公式 表示简捷，近几十年弹性力学的论述及方程列 式采用指标符号表示。为了这一原因，这里也 简单介绍一些基本概念。这些符号或公式都是 在笛卡尔坐标系中采用
8、。 DateDate18181-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识 5.1 力学中常用的物理量1.标量：只有大小、没有方向性的物理量，与 坐标系选择无关。用字母表示，如温度T、时间t、密度 等。标量无下标。DateDate19191-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识 2. 矢量：有大小，又有方向性的物理量 矢量的符号记法 。 如矢径 （或黑体）、位移 、力 等， 矢量也可以用它的标量表示 ： x1 x3 x2rDateDate20201-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识 其中 、 、 为坐标的基方向（单位向量），r1、r2、r3为r在坐标轴的投影（分量），都有一个下标。x1 x
9、3 x2rDateDate21211-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识 3. 张量：有大小，并具有多重方向性的量每个分量用一个标量（具有两个下标）与两个 并在一起基矢量（并矢），称为二阶张量。矢 量可称为一阶张量，标量为零阶张量。如应力 、应变 ，张量的符号记法。DateDate22221-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识 5.2求和约定在张量表示说明中，看到张量分量表示是 一组符号之和，很长，特别是高阶张量，为了 书写简捷，采用求和约定。求和约定：当在同一项中，有一个下标字母出 现两次时，则表示该项在该指标的取值范围内 遍历求和，且称此种在同一项重复出现一次的 下标为哑标。 Da
10、teDate23231-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识哑标如：由于哑标i仅表示要遍历求和，因此哑标可以 成对的任意换标。 DateDate24241-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识5.3自由指标一个表达式中如果出现非重复的标号或一 个方程每项中出现非重复的而且为相同字母的 指标，称为自由指标。 矢径 r 的表示： 矢径的三个分量为ri (i=1,2,3)，用ri表示矢径；同样位移矢量u，用ui表示位移，ij 表示 应力 张量。DateDate25251-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识i 为自由指标，取i=1,2,3 表示三个方程。 j为哑指标，表示求和。 DateDat
11、e26261-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识5.4 克罗内克符号 ij （Kronecker delta） 定义：ij（i,j为自由指标）共有九个分量，i,j 各取13。 DateDate27271-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识由 ij 定义9个 元素组成矩 阵为单位阵：ij符号的应用 笛卡尔坐标系的 基向量的点积 DateDate28281-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识由 ij 定义及哑标、自由标定义，可得：DateDate29291-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识如果 ij 符号的两个指标中有一个指标和同 项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的 那个重
12、指标替换成ij 的另一个指标，而 ij 自动 消失。ij 也称为 换标符号。两个任意向量点积 DateDate30301-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识5.5 排列符号（levicivtita）eijk定义： eijk ( i,j,k =1,2,3) 共有27个元素。 DateDate31311-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识排列符号的作用可以简化公式书写，如 ： 1 三阶行列式： （共六项，三项为正，三项为负）。 DateDate32321-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识2. 基向量的叉积：右手系 任意基向量的叉积可写为 DateDate33331-5 笛卡尔坐标系下
13、的矢量、张量基本知识3向量叉积的展开式： 而 DateDate34341-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识得 DateDate35351-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识5.6 梯度（grad）、散度（div）、旋度rot或curl）：1标量场的梯度：标量场 ( xi,) 的梯度为： 标量场：= ( x1,x2,x3 )= ( xi,) DateDate36361-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识标量场 ( xi,) 的梯度为： 其中 DateDate37371-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识标量场的梯度为一矢量场，类推矢量场的 梯度为二阶张量。标量场梯度的方向与等值
14、面 ( xi,)=C垂直， 大小为 ( xi,)在其法线方向上的方向导数DateDate38381-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识2矢量场的散度： 矢量 定义向量场的散度为 或 类推对张量场也可得它的散度。 DateDate39391-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识3矢量场的旋度：矢量 ，定义向量场的旋度为DateDate40401-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识4拉普拉斯算子（laplace opertor）：标量场中的拉普拉斯算子定义为标量场 ( xi,)的梯度的散度，是一个标量 ，DateDate41411-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识标量场 ( xi,
15、)的梯度的散度，是一个标量DateDate42421-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识矢量场的拉普拉斯算子定义为矢量场的 梯度的散度：是一个向量 DateDate43431-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识DateDate44441-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识DateDate45451-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识5.7高斯（Gauss）公式（散度定理）：矢量场 定义在三维域V内，S为V的表 面。在表面上任一微元面dS，单位外法线 为（ ）。若 在VS上有连续偏导数，则：DateDate46461-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识矢量场散度的体积积分等于矢量场在表面法 线上投影的积分。高斯公式表示了体积积分与面积积分的关系：DateDate47471-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识x1x3x2n+n -dx2dx3证明i =1时情况：可以先证 在正面： 在负面： DateDate48481-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识x1x3x2n+n -dx2dx3其它两个方程的证明类似。 DateDate49491-5 笛卡尔坐标系下的矢
