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1、第6章 统计量与抽样分布 第一节 总体和样本的统计分布 1、总体分布和样本的性质 总体的含义可抽象为所感兴趣的变量及其分 布 。 如果样本满足同分布、独立性则为简单随机 样本。是一堆是一堆“杂乱无章杂乱无章”的数据的数据设设 是来自总体是来自总体 的样本的样本是对总体进行推断的依据是对总体进行推断的依据包含了有关总体的包含了有关总体的“信息信息”在观察前在观察前 是一组独立同分布是一组独立同分布r.vr.v在观察后在观察后 是一组具体的数据是一组具体的数据总体X 随机变量N(,2)观察值 随机变量N(,2)的值 对象：某大学新生的身高2、样本的联合分布设设 为来自总体为来自总体 的样本的样本，
2、则样本的则样本的 联合分布函数为联合分布函数为设设 为来自总体为来自总体 的样本，则样本的的样本，则样本的 联合联合概率函数概率函数为为设设为来自总体为来自总体的样本的样本, , 则样本的联合密度为则样本的联合密度为第二节 统计量 一、统计量与统计量的分布设(X1,X2,Xn)是总体X的样本,则由样本（X1,X2Xn）构成的且不含任何未知参数的函数g(X1,X2Xn)称为统计量。 例：设(X1,X2)是总体N(,2) 的一个样本,其中 已知，未知参数,则下列哪个不是统计量：1 、统计量定义A推断统计研究的重点寻找统计量及其分布 统计量的分布也称抽样分布，不一定和总 体分布一致。2、常用统计量设
3、（X1，X2，,Xn）为总体X的样本，则样本方差；样本k阶(原点)矩2. 几个常用的统计量样本标准差样本k阶中心矩此外，还有 1、顺序统计量(X1，X2，Xn)是总体X的一个样本，(x1，x2，xn)是一个样本观察值，将它由小到大的顺序排列，得到 x(1)x(2)x(n) ，取x(i)作为X(i)的观测值，由此得到的统计量X(1)，X(2)，X(n)称为样本(X1，X2，Xn)的一组顺序统计量，X(i)称为第i个顺序统计量或第i项2、样本中位数3、样本极差 R=X(n)- X(1)4、样本p阶分位数其中，0p1。5、样本切尾均值第三节 抽样分布一、 分布1定义 设X1，X2，Xn是来自正态总体
4、 N(0，1)的样本，则称统计量为服从自由度为 n 的 分布，记作 (n)0f(x)n=1n=5n=15x2 (n)分布的概率密度：其中 为 函数 在 处的函数值3分布的性质：性质1：设 (n)，则E( )=n，D( )=2n 证：因XiN(0,1)，E(Xi2)=1 ，D(Xi)=1 性质2：设 X (n1)，Y (n2)，且X与Y相互独立, 则 X+Y (n1+n2)性质3：设 为X的样本，则 证： 性质4：设 (n)，则对任意实数x，有例如 取 ，则查附表4（395)有 4 (n)分布的上 分位点：设 (n)，对于给定的正数 ， 称满足条件 的点 为 (n) 分布的上 分位点 0f(x)
5、x 5、2分布的自由度例二、t 分布（学生分布）1定义 设XN (0,1)，Y (n)，且 X 与Y 独立，则称随机变量服从自由度为 n 的 t 分布，记作 t t (n)2t (n)分布的概率密度： 3性质：t (n) 分布的概率密度关于 y 轴对称，且f(x)x0n=10n=4n=1f(x)0x4t (n) 分布的上 分位点：设 t t (n)，对于给定正数 ，称满足条件 的点 为 t (n) 分布的上 分位点，且有5.T分布自由度越小，分布的方差越大，分布比较平坦。当自 由度较大时，方差较小，越接近标准正态分布。三、F分布1定义：设X (m)，Y (n)，且 X 与 Y 独立，则称随机变
6、量为服从自由度是 m、n 的 F分布，记作 FF (m, n)，其中 m 称为第一自由度，n 称为第二自由度2F(m,n)分布的概率密度为3F(m, n) 分布的性质:若FF(m, n)，则 m=10,n=5 m=10,n=25xf(x)xf(x)4F (m, n) 分布的上 分位点：设 FF(m, n)，对于给定正数 ，称满足条件 的点 为F(m, n)分布的上 分位点，且有如F 0.01(10,15)=3.8.6.3.4 抽样分布定理（正态总体统计量的分布）本节介绍来自正态总体的样本均值与样本方差的抽样分布这是参数估计与假设检验的基础定理1 设 为来自 总体 X 的样本，则，样本均值与样本
7、方差 相互独立证明且两者独立, 由 t 分布的定义知化简即可.定理2定理3设总体 ，总体 ，且 X 与 Y 独立X1，X2，与Y1，Y2，分别为来自总体 X 与总体 Y 的样本，且这两组样本相互独立，则有(i) ,.(ii) 若 ，则，其中 (iii) (ii) 由定理 3 得， ，于是又由 (i) 及 t 分布定义，有即 ,.(iv) 由定理 ， 则即,.解 . 由 ，即 ，得所求概率为例1 从总体 N ( 52，6.32 ) 中随机抽取一容量为 36 的样本，求样本均值 落在 50.8 到 53.8 之间的概率例2 设 X1，X2，X10 为总体 N (0，0.09)的一个样本，求 解 由 ， ，则有.5、小结 两个最重要的统计量:样本均值样本方差三个来自正态分布的抽样分布:
