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1、26.1.5 用待定系数法求二次函数的解析式1、已知抛物线线y=ax2+bx+c 0 经过经过 点（-1,0），则则_ 经过经过 点（0,-3），则则_ 经过经过 点（4,5），则则_对对称轴为轴为 直线线x=1，则则_当x=1时时，y=0，则则a+b+c=_ab2-=1a-b+c=0 c=-3 16a+4b+c=5顶顶点坐标标是（-3,4）， 则则h=_,k=_，-3 a（x+3）2+442、已知抛物线线y=a（x-h）2+k对对称轴为轴为 直线线x=1，则则_代入得y=_代入得y=_h=1 a（x-1）2+k抛物线线解析式抛物线线与x轴轴交点坐标标 (x1,0),( x2,0)y=2(x-
2、1)(x-3)y=3(x-2)(x+1)y=-5(x+4)(x+6)-x1- x2求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？（1，0）（3，0）（2，0）（-1，0） （-4，0）（-6，0）(x1,0),( x2,0)y=a(x_)(x_) （a0） 交点式回顾：用待定系数法求解析式 已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求 这个一次函数的解析式。解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），所以k+b=3-2k+b=-12 解得 k=3，b=-6一次函数的解析式为y=3x-6.解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由已知得
3、：a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 解方程得： 因此：所求二次函数是：a=2, b=-3, c=5y=2x2-3x+5例1 已知一个二次函数的图象过点（1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.用待定系数法求二次函数的解析式 求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是 求出待定系数a，b，c的值。 由已知条件（如二次函数图像上三个点的 坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出 a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。用待定系数法求二次函数的解析式解：因为抛物线的顶点为（-1，-3）， 所以，设所求的二次函数的解析式为 y=a(x1)2-3例2 已知抛
4、物线的顶点为（1，3），与y轴的 交点为（0，5），求抛物线的解析式。因为点（0，-5 ）在这个抛物线上， 所以a-3=-5， 解得a=-2 故所求的抛物线解析式为 y=2(x1)2-3 即：y=2x2-4x5 。用待定系数法求二次函数的解析式顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数a0). 1.若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另 一个点的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式 y=a(x-h)2+k.2. 特别地，当抛物线的顶点为原点是， h=0,k=0,可设函数的解析式为y=ax2.3.当抛物线的对称轴为y轴时，h=0,可设函数的 解析式为y=ax2+k.4.当抛物线的顶点在x轴上时，
5、k=0，可设函数 的解析式为y=a(x-h)2.所以设所求的二次函数为 y=a(x1)(x1)例3 已知抛物线与X轴交于A（1，0），B（1,0 ） 并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？又 点M( 0,1 )在抛物线上 a(0+1)(0-1)=1 解得： a=-1 故所求的抛物线解析式为 y=- (x1)(x-1) 即：y=x2+1用待定系数法求二次函数的解析式解：因为抛物线与x轴的交点为A(1，0)，B(1，0) ，交点式y=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2为常数a0） 当抛物线与x轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时 ，二次函数y=ax2+bx+c可以转化为交点式 y
6、=a(x-x1)(x-x2).因此当抛物线与x轴有两个交点 为（x1,0）,(x2,0)时，可设函数的解析式为 y=a(x-x1)(x-x2)，在把另一个点的坐标代入其中 ，即可解得a，求出抛物线的解析式。交点式y=a(x-x1)(x-x2). x1和x2分别是抛物线 与x轴的两个交点的横坐标，这两个交点关于抛 物线的对称轴对称，则直线 就是抛物 线的对称轴.应 用 例4 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大 高度为16m，跨度为40m现把它的图形放在坐标系 里(如图所示)，求抛物线的解析式 解：设抛物线的解析式为y=ax2bxc， 根据题意可知 抛物线经过(0，0)，(20，16)和(4
7、0，0)三点 可得方程组 通过利用给定的条件 列出a、b、c的三元 一次方程组，求出a 、 b、c的值，从而确定 函数的解析式 过程较繁杂， 评价设抛物线为y=a(x-20)216 解： 根据题意可知 点(0，0)在抛物线上， 通过利用条件中的顶 点和过原点选用顶点 式求解， 方法比较灵活 评价 所求抛物线解析式为 例4 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大 高度为16m，跨度为40m现把它的图形放在坐标系 里(如图所示)，求抛物线的解析式 应 用设抛物线为y=ax(x-40 ）解： 根据题意可知 点(20，16)在抛物线上， 选用两根式求解， 方法灵活巧妙，过 程也较简捷 评价例4 有一
8、个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大 高度为16m，跨度为40m现把它的图形放在坐标系 里(如图所示)，求抛物线的解析式 应 用课 堂 练 习课 堂 小 结 求二次函数解析式的一般方法： 已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式 已知图象的顶点坐标、对称轴、最值和另一个点的坐标通常选择顶点式 已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2和另一个点的坐标通常选择交点式确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地 选用一种函数表达式， 一般式：例1 求经过有三点A（-2，-3），B（1，0），C（2，5）的二次函数的解析式 .xyo-3 2 1 1 2 ABC 5-3分析 ：已知一般三点，用
9、待定系数法设为一般式求 其解析式.顶点式 ：例2 已知抛物线的顶点为D(-1，-4)，又经过点C(2，5)，求其解析式。 xyo-3 2 1 1 2 ABC 5-3 -4分析：设抛物线的解析式为，再根据C点坐标求出a的值 。顶点式 ：交点式 ： 例3 已知抛物线与x轴的两个交点为A(-3，0)、B(1，0)，又经过点C(2，5)，求其解析式。xyo-3 2 1 1 2 BC 5-3A分析：设抛物线的解析式为，再根据C点坐标求出a的值。交点式 ：充分利用条件 合理选用以上三式例4 已知抛物线的顶点为A(-1，-4)，又知它与x 轴的两个交点B、C间的距离为4，求其解析式。yxo-3 2 1 1
10、2 ABC 5-3 -4分析：先求出B、C两点的坐标，然后选用顶点式或交点式求解。（南通市）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C 三点，当时，其图象如图所示。求抛物线的解析 式，写出顶点坐标。245-3A BCxy已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式二次二次函数常用的几种解析式函数常用的几种解析式一般式 y=ax2+bx+c (a0)顶点式 y=a(x-h)2+k (a0)交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a0)用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件 的特点，恰当地选用一种函数表达式。 一、设 二、代 三、解 四、还原 如图，直角ABC的两条直角边OA、OB的 长分别是1和3，将AOB绕O点按逆时针方 向旋转90，至DOC的位置，求过C、B、A 三点的二次函数解析式。CA OBDxy当抛物线上的点 的坐标未知时， 应根据题目中的 隐含条件求出点 的坐标(1，0)（0，3）（-3，0）数学是来源于生活又服务于生活的. 米米小燕去参观一个蔬菜大棚，大棚的横截面为抛 物线，有关数据如图所示。小燕身高 米，在她不弯腰的情况下，横向活动范围是多 少？MN8米3.2ABABC8米3.28米3.2ABOOO8米3.2ABC NM
