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1、9.8 9.8 距距离离( (二）二）3.两个平行平面的距离和两个平面同时垂直的直线，叫做这两个平 面的公垂线。公垂线夹在平行平面之间的部分 ，叫做这两个平面的公垂线段。两个平行平面 的公垂线段的长 度，叫做两个平 行平面的距离。ABCA1思考：任意两条异面直线都有公垂线吗？有多少条公垂线？已知异面直线AA1和BC，直线AB与异面直线AA1，BC都垂 直相交。和两条异面直线都垂直相交 的直线叫做两条异面直线的 公垂线，公垂线夹在异面直 线间的部分，叫做这两条异 面直线的公垂线段。4.异面直线的距离定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。存在性：abPaQMcBA直线AB就是异面直 线a,b
2、的公垂线唯一性：假如还有直线AB也是a,b的公垂线，则ABa ABb a/a ABa 所以 AB平面 又AB 平面AB/AB 则 a,b共面 矛盾！AB定理二：两条异面直线的公垂线段是分别连结 两条异面直线上两点的线段中最短的一条。abABCD两条异面直线的公垂线段的长度，叫做 两条异面直线的距离aabAAdEFlmn例4 已知两条异面直线所成的角为 ，在直线 、 上分别取 、 ，已知 ，求公垂线段 的长度 。解：异面直线的距离公式：6.已知正方体 ,说出下列各对棱所在 直线的公垂线，并求它们之间的距离：AB与BC； AB与CC；AD与BB； CD与BC；AB与CD。练 习7. 如图，已知空间
3、四边形OABC各边及对角 线长都是1，D,E分别是OA,BC的中点，连结 DE。（1）求证：DE是OA和BC的公垂线。（2）求OA和BC间的距离。8. 正方体ABCDA1B1C1D1中，P为AB 中点，Q为BC中点，AA1=a, O为正方形 ABCD的中心，求PQ与C1O间的距离。例5：已知二面角-l-的大小是1200，A,C 且ABl,CDl，AB=CD=a, AC=2a,求（1）BD的长；（2）BD和AC所成角的余弦值；（3）BD和AC的距离。ABC Dl思考：已知正方体 的棱长为1， 求异面直线 与 的距离。求异面直线的距离的常用方法：（1） 找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。ab（2） 转化为求线面间的距离。a/平面ab（3） 转化为求平行平面间的距离。a/平面, b/平面注意：（2）3）可进一步转化为点到平面的距离。课堂小结：（4）用模型公式（5）向量方法：先求两异面直线的公垂线方向的向量， 再求两异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影 长abEFn空间距离补充例题1.有关点到直线、点到平面距离的求法M OA C B A1B1C1转化思想A D C B A1D1B1C12.给出公垂线的两条异面直线距离的求法HOA D C B A1D1B1C1O转化思想3.直线和平面间的距离与两平行平面间的距离A D C B A1D1B1C1OO1HMMOD
