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1、截断误差和相容性 以格式为例 i-1ijj+1如果当、-时，差分方程的截断误 差的某种范数也趋近于零即： ，则表明从截断误差的角度来看，此差分 方程是能用来逼近微分方程，通常称这样的差 分方程和相应的微分方程相容。如果截断误差 的范数不趋于零，则称为不相容，这样的差分 方程不能用来逼近微分方程。 离散误差与收敛性 所谓相容性,是指当自变量的步长趋于零时,差 分格式与微分问题的截误差的范数是否趋于零 ,从而可看出是否能用此差分格式来逼近微分 问题。然而方程是物理问题的数学表达形式, 其目的是为了借助数学的手段来求问题的解。 因此,除了必需要求差分格式能逼近微分方程 和定解条件外,还进一步要求差分
2、格式的解(精 确解)与微分方程定解问题的解(精确解)是一 致的。即当步长趋于零时,要求差分格式的解趋于微分 方程定解问题的解。我们称这种是否趋于微分 方程定解问题的解的情况为差分格式的收敛性 。更明确地说,对差分网格上的任意结点(i,j), 也是微分问题定解区域上的一固定点,设差分格 式在此点的解为 ,相应的微分问题的解为 ,二者之差为：称为离散化误差。如果当-、- 时,离散化误差的某种范数趋近于零,即 ：则说明此差分格式是收敛的,即此差分格式的 解收敛于相应微分问题的解,否则不收敛。与相 容性类似，收敛又分为有条件收敛和无条件收 敛。 误差传播与稳定性 在有限差分法的具体运算中,计算误差总是
3、不可 避免的,如舍入误差,以及这种误差的传播、积 累。然而人们通过大量的实践和理论分析发现, 同一问题的各种差分格式在某一定条件下,若计 算中某处产生了误差,则这个误差将对以后的计 算产生影响。如果这一误差对以后的影响越来 越小,或是这个影响保持在某个限度以内, 那么 就称这个差分格式在给定的条件下稳定,这个条 件就是它的稳定准则。如果误差的影响随着的增大越来越大,使计算 的结果随着的增大越来越偏离差分格式的精 确解,而毫无实用价值,那么这种情况就是不稳 定的。 单增长型的不稳定称为静力不稳定性。除非改 变格式,否则这种不稳定性是无法消除的。 过冲型振荡的不稳定称为动力不稳定。显然,这 种不稳定可以用限制的办法消除,对应的稳定 状态称为条件稳定,对的限制称为稳定条件或 稳定准则。 Lax等价定理 讨论了差分问题的相容性、收敛性和稳定性。 相容性是收敛性的必要条件;还发现,稳定性与 收敛性有一定的联系。Lax等价定理就是阐述相 容性、收敛性和稳定性三者之间的关系的。 Lax等价定理:对一个适定的线性微分问题及一 个与其相容的差分格式,如果该格式稳定则必收 敛,不稳定必不收敛。换言之,若线性微分问题适定,差分格式相容,则 稳定性是收敛性的必要和充分的条件。这也可 表示为：稳定性 收敛性
