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1、 考点扫描：函数是高中数学重要的基础知识，高考试题中始终贯穿考查函数 概念及其性质这一主线。特别是函数的三要素，反函数，函数的奇 偶性、单调性、周期性、对称性以及函数最值等有关性质已经成为 高考经久不衰的命题热点，而且常考常新，根据对近年来高考试题 的分析研究，函数综合问题呈现以下几个特点：1、考查函数概念、逻辑推理能力和必要的数学解题思想方法。2、考查抽象函数、发散思维能力以及解决函数综合问题的特殊思想 方法如数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等。3、考查函数与不等式、数列、几何等知识交叉渗透以及综合应用。4、考查以函数为模型的实际应用问题，培养学生的应用意识。这些方法分别具有极强
2、的针对性，每一种方 法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题 ，必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求 值域的方法，下面就常见问题进行总结。l求函数值域方法很多，常用方法有： （1） 配方法 （3）判别式法（2） 换元法（4）不等式法 （5）反函数法、（6）图像法（数形结合法） （7）函数的单调性法(导数） （8）均值不等式法例1 求函数如图， y-3/4,3/2.分析：本题是求二次函数在区间上的值 域问题，可用配方法或图像法求解。oxy-113/2-3/41/2例例2 2 求函数求函数分析：函数是分式函数且都含有 二次项，可用判别式和单调性法 求解。解法解法2 2：（：（函数的单调性法函
3、数的单调性法）是增函数，u取最小值时，y也取最小 值。解法解法2 2：（函数的单调性法）：（函数的单调性法）原函数的值域为例例3 3 求函数求函数 的反函数的定义的反函数的定义域. .分析：函数f(x)的反函数的定义域就是原函数的 值域，可用不等式法求解。解：变形可得反函数的定义域为(-1,1)。例例4 4 求下列函数的值域：求下列函数的值域：(1) y=6x(1) y=6x2 2-2x-2x3 3, (00,故y=log1/2u的定义域为（0，2上的 减函数，即原函数值域的为y -1,+)。分析：本题求值域看似简单，其实有 其技巧性，变形适当事半功倍。(1)可用配方法或判别式法求解;（2）可
4、用单调有界性解之。例7 求下列函数的值域：解法1：不难看出y0,且可得定 义域为3x 5,原函数变形为：例7 求下列函数的值域：由x3,5知，-x2+8x-15 0,1,即当x=4时，ymax=2，当x=3或5时， ymin=2,故原函数的值域为2，2。解法2：(判别式法).两边平方移项得:y2-2=2(x-3)(5-x),再平方整理得4x2-32x+y4-4y2+64=0且y2-2 0,y看成常数,方程有实根的条件是 =162-4(y4-4y2+64)=-4y2(y2-4) 0,注意到y20得y2-40 即0y24而y2-20即有2y2, y2,2.例8 已知圆C：x2-4x+y2+1=0上
5、任意一 点P（x,y),求 的最大值与最小值。xyoPC例8 已知圆C：x2-4x+y2+1=0上任意一 点P（x,y),求 的最大值与最小值。xyoPC解：圆C方程为 (x- 2)2+y2=3 ， 的最值即求 圆上的点P到原点的斜率的最 值。设y=kx,如图，显然，当直线 y=kx与圆C相切时k有最值， 容易得出其最大与最小值分 别为3，-3.例9 已知圆C：x2+y2-4x+6y+11=0,求 x+y+4的最值。分析：本题可转化采用圆的参数方 程表达，利用三角函数的有界性解 决或在二元二次方程的约束条件下 ，求x+y+4的线性规划。 解法2（线性规划）x,y是圆C:(x- 2)2+(y+3
6、)2=2上的点， 设x+y+4=z,则y=-x+(z- 4),z-4可看作为直线 L:x+y+4-z=0在y轴上的 截距，作直线y=-x并平 移，当直线L:x+y+4-z=0 和圆C相切时，z-4有最 大值和最小值。xyoC(2,-3)y=-x解法2（线性规划）(x+y+4)max=5 (x+y+4)min=1xyoC(2,-3)y=-x例10 求函数 的值域。分析：利用三角函数的有界性较数形结合为点(2,0)与点(cosx,-sinx)连线的斜 率的过程要简单。解：将原函数化为sinx+ycosx=2y例11 求函数y=x2-2x+10+x2+6x+13的值域。分析：本题求函数 的值域可用解析几 何与数形结合法解 之。A1(1,-3)yA(1,3) B(-3,2)xoPA1(1,-3)yA(1,3) B(- 3,2)xoP将上式可看成为x轴上点P(x,0) 与A(1,3),B(-3,2)的距离之和 。即在x轴上求作一点P与两定 点A,B的距离之和的最值，利用 解析几何的方法可求其最小值 。解：函数变形为y=(x-1)2+(0-3)2+(x+3)2+(0-2)2.A1(1,-3)yA(1,3) B(- 3,2)xoP如图，可求A关于x轴对称点A1(1,- 3)连结A1B交x轴y于P,则P(x,0)为所 求，可证明所以原函数值域 的为 y41,+).
