量子力学 第二章

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1、l2.1 一般性质 第2章 一维势场中的粒子定理1：若 是方程（3）的一个解，则 * 也是方程（3）的一个解。定理2：可以找到方程（3）的一组实解，则方程（3）的一个解可表示成这组实解的叠加。定理3：设V(x)具有偶宇称V(-x)=V(x),若 （x）是方程（3）的一个解，则 * （-x）也是方程（3）的一个解。定理4：略定理5：略定理6：略定理7：设V(x)是规则场（ V(x)无奇点 ）,则方程（3）的束缚态必定不间併。定理6：对于一维粒子,设1（x）与2（x）是方程（3）的属于同一个能量 E 的解，则定理7：设V(x)是规则场（ V(x)无奇点 ）,则方程（3）的束缚态必定不间併。证明：对

2、束缚态（） 0,所以（13）式中的常数=0 定理7的推论： 一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简并的。 简并度（degeneracy）：一个力学量的某个测量值，可在 n 个独立的（线性无关的）波 函数中测得，则称这一 测量值是具有n 重简 并度。2.2.1 无限深方势阱考虑宽度为a的导线，电子在导线 中自由运动。无外界影响时，电子永 远不会超出导线，相当于导线外有个 无限大的势垒。在集成电路中，有许多这种导线 形式。0 ae物理背景2.2.1 无限深方势阱求解 S 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）确定归一化系数0 aV(x)I

3、IIIII势能函数为 2.2 方 势根据一维情况的定态Schrdinger方程整理成数学上 的标准形式（1）列出各势域的 S 方程方程可 简化：0 aV(x)IIIIII势V(x)分为三个区域，用I 、 II和III表示，其上的波函数 分别为I(x),II(x) 和 III (x)。则方程为：22从物理考虑，粒子不能透过无穷高的 势壁。根据波函数的统计解释，要求 在阱壁上和阱壁外波函数为零，特别 是(-a) = (a) = 0。0 a V(x)IIIIII对对区域I，因为为V ，所以 ， 方程要成立，必须要求对区域III-a 0 aV(x)IIIIII 对对区域II，因为为0有限， 易解出区域

4、II的解常数 、A 和 B 需确定使用标准条件 3：连续：1）波函数连续：0 aV(x ) IIIIII讨论状态不存在描写同一状态所以 n 只取正整数，即于是：能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二 激发态，依次类推。与第n个能级 对应的状态是 ，表示系统处 于能级 的几率为 。或表示粒子占据能级 的几率为 。由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空 间范围，在无限远处， = 0 。这样的状态，称为束缚态。 一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。系统的 能量是量子的。（4）由归一化条件定系数 A最后得：小结 由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解S方程的一般步骤如下：三、

5、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）,确定未知数和能量本征值； 四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。一、列出各势域上的S方程； l二、求解S方程； 作 业P49 (2.3)2.4 一维谐振子 （一）引 言 （1）何谓谐振子 （2）为什么研究线性谐振子 （二）线性谐振子 （1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式 （5）求归一化系数 （6）讨论讨论（三）实 例（一）引言（1）何谓谐振子量子力学中的线性谐振子 就是指由该式所描述的势 场中运动的粒子。在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力F = - kx作 用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：其解为

6、x = Asin(t + )。这种运动称为 简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。若取V0 = 0，即 平衡位置处于势 V = 0 点，则（2）为什么研究线性谐振子自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动， 例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等 往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往 还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论 上还是在应用上都是很重要的。 例如双原子分子，两原子间的 势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在 x = a 处，V 有一 极小值V0 。在 x = a 附近势可以展开成泰勒级数：axV(x)0 V0取新

7、坐标原点为(a, V0)，则势可表示为标 准谐振子势的形式：可见，一些复杂的势场下粒子的运动往 往可以用线性谐振动来近似描述。（二）一维线性谐振子 （1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式 （5）求归一化系数 （6）讨论（1）方程的建立线性谐振子的 Hamilton量 ： 则则 Schrdinger 方程可写为为 ：引入无量纲变量代替x，改写成：得到：此式是变系数二阶常微分方程，式中（2）求解为求解方程，我们先看一下它的渐 近解，即当 时波函数 的行为。在此情况下， 1 = expf()，对渐近方程的二阶导数还等于，则并且方程 中第二项的系数为负，解的函数 形式应是指

8、数形式，于是设解：方程变为：整理得：将 f 作级数展开带入方程得 ：得到：当 时，为避免方 程发散，要求高阶项为零：同时，因为，低阶 项为低阶无穷小，可略去：解出：最后得到：所以：利用波函数有 限性条件：当 时， 应有 c2 = 0，因整个波函数尚未归一化，c1可以令 其等于1。最后渐近波函数为：得到渐进方程的解： 其中 u() 必须满足波函数的单值、有限、连续的标 准条件。即： 当有限时，u()有限； 当时，u()的行为要保证() 0。将()表达式代入方程得 关于待求函数 u() 所满足的方程：2. u()满足的方程 为了使方程的波函数 在无穷远处有的形式，我们令：3.级数解我们以级数形式来

9、求解 。 为此令：用 代替 再用 代替由上式可以看出： b0 决定所有角标k为偶数的系数； b1 决定所有角标k为奇数的系数。 因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解。可分别令：b0 0, b1=0. ueven(); b1 0, b0=0. uodd().即：a+2(+2)(+1)-a2 + a (-1)=0 从而导出系数 a 的递推公式：只含偶次幂项u = co uodd + ce ueven = (co uodd + ce ueven ) exp-2/2该式对任意都成 立，故同次幂前 的系数均应为零，只含奇次幂项则通解可写成（3）应用标准条件(I)=0 exp-2/2|=0 = 1

10、 ueven()|=0 = a0 uodd()|=0 = 0 皆有限单值性和连续性两个条件自然满足， 只剩下第三个有限性条件需要进行讨论。因为u()是一个幂级数，故应考虑幂级数的收敛性。 考虑一些特殊点， 即势场有跳跃的地方,以及x=0, x或=0, 。(II) 需要考虑虑无穷级穷级 数u()的收敛敛性为此考察相邻两项之比：比较两个级数可知： 当时， u()的渐近行为 与exp(2)相同。考察幂级数exp(2)的 展开式的收敛性 相邻两项之比：所以总波函数有如下发散行为 ：为了满足波函数有限性要求，幂级数 u() 必须从某一项截断变成一 个多项式。换言之，要求 u() 从某一项（比如第 n 项

11、）起 以后各 项的系数均为零，即 an 0, an+2 = 0. 代入递递推关系)得：结论 基于波函数 在无穷远处的 有限性条件导致了 能量必须取 分立值。（4）厄密多项式附加有限性条件得到了 u()的 一个多项式，该多项式称为厄密 多项式，记为 Hn()，于是总波 函数可表示为：由上式可以看出，Hn() 的最高次幂幂是 n ，其系数是 2n。归归一化系数Hn()也可写成封闭形式 ： = 2n+1厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：从上式出发，可导出 厄密多项式的递推关系： 应 用 实 例例：已知 H0 = 1, H1=2， 则根据上述递推关系得出： H2 = 2H1-2nH0 = 42-2下

12、面给出前几个厄密 多项式具体表达式： H0=1 H2=42-2 H4 = 164-482+12 H1=2 H3=83-12 H5=325-1603+120基于厄密多项式的递推关系可以导出谐 振子波函数(x)的递推关系：（5）求归一化系数则谐则谐 振子 波函数为为：(I)作变量代换，因为=x， 所以d=dx； (II)应用Hn()的封闭形式。该式第一项是一个多项式与 exp-2 的 乘积，当代入上下限=后，该项为零。继续继续 分步积积分到底因为Hn的最高次项 n的系数是2n，所以 dnHn /dn = 2n n!。于是归归一化系数( 分 步 积积 分 )小结：一维线性谐振子（1）线性谐振子的 H

13、amilton量：（2）Schrdinger 方程 ：改写： （3）引入无量纲变量代替 x ：方程可改写成 ： （4）方程的解 ： 谐振子的能级 ： n=0 时，能量不为零，谐振子的零点能级 ：n = 0n = 1n = 24. 波函数然而，量子情况与此不同 。对于基态，其几率密度 是：0()=|0()|2= N02 exp-2 分析上式可知：一方面表 明在= 0处找到粒子的 几率最大；另一方面，在 |1处，即在阱外找 到粒子的几率不为零，这 一点与经典情况完全不同 。以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在|x| V0 情况上述三个区域的 Schrdinger方程可分别写为：定态波函数1,2

14、,3 分别乘以含时因子 exp(-iEt/) ： 即可看出式中第一项是沿x正向传播的平面波，第二项是 沿x负向传播的平面波。由于在 x a 的III 区没有反射波 ，所以 C=0，于是解为：波函数意义因为为 E 0, E V0, 所以 k1 0, k2 0. 利用波函数标准条件来定系数。 首先， 解单值、有限条件满足。1. 波函数连续连续综综合整理，记为记为2. 波函数导导数连续连续3. 求解线性方程组求解方程组得:4. 透射系数和反射系数I 透射系数： 透射波几率流密度与入射波 几率流密度之比称为透射系数 T = JD/JAII 反射系数： 反射波几率流密度与入射波 几率流密度之比称为反射系数 F = JR/JA其物理意义是：描述贯穿到 x a 的 III区中的粒子在单 位时间内流过垂直 x 方向的单位面积的数目与入射粒子（ 在 x a 的III区，另一部分则被势垒 反射回来。同理得反射系数：因为:（2）E 1时透射系数 则变为：粗略估计，如果取 k （相当于E V0/2） ,则 D0 = 4 是一常数。下面通过实例来说明透射系 数的量级大小。例2: 入射粒子为电子。设设 E=1eV, V0 = 2eV, a = 2 10-8 cm = 2， 算得 D 0.51。若a=5 10-8cm = 5 ， 则则 D 0.024，可见见 透射系数迅速减小。