平面曲线的弧长

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1、3 平面曲线的弧长 4 旋转曲面的面积1 平面图形的面积5 定积分在物理中的应用2 由平行截面面积求体积第十章 定 积 分的应用6 定积分的近似计算11平面图形的面积平面图形的面积三、极坐标系情形二、参数方程一、直角坐标系情形曲边边梯形的面积积一、直角坐标系情形曲边梯形的面积讨论：由左右两条连续曲线xy(y)、xj(y)与上下两条直 线yc、 yd所围成的图形的面积 S 如何求？Oxycdxy(y)xj(y)答案：由上下两条连续曲线yf(x)、yg(x)与左右两条直线Sxa、xb所围成的图形的面积为abxyOS1则椭圆的面积为 解：设椭圆在第一象限的面积为S1，x1O-1 1 y解： 由对称性

2、，图形面积是第一 象限部分的两倍。S 2 例3 计算抛物线y22x 与直线yx4所围成的图形的面积。8y-2 2 x2O444(8, 4)(2, 2)解：求两曲线的交点得：(2，2)，(8，4)。将图形 向y轴投影得区间2，4。 18。二、参数方程椭圆的参数方程解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积三、极坐标系情形曲边扇形的面积面积元素解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积解利用对称性知例7解：x y o 两边边同时对时对 求 导导积分得所以所求曲线为回顾 曲边梯形求面积的问题补充:定积分的微元法ab xyo面积表示为定积分的步骤如下（3） 求和，得A的近似值（4） 求极限，得A的精确值

3、ab xyo提示面积元素微元法的一般步骤：这个方法通常叫做微元法应用方向：平面图形的面积，体积。经济应用。其他应用。选选 为积为积 分变变量解两曲线的交点面积元素微元法求平面图形的面积举例选选 为积为积 分变变量解两曲线的交点于是所求面积积选选 为积为积 分变变量两曲线的交点解求在直角坐标系下、参数方程形式 下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化 积分运算）三、小结作业: P242 1-6一、旋转体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积22 由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积三、小结旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做 旋转

4、轴圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积Oxbay旋转体：由连续曲线 yf (x)、直 线 xa 、ab 及 x 轴所围成 的曲边梯形绕 x轴旋转一周 而成的立体。yf (x)讨论：旋转体的体积怎样求？答案：xyo旋转体的体积为解：椭圆绕 x 轴旋转产生的旋转体的体积： xyOab分别绕x轴与y轴旋转产生的旋转体的体积。解直线 方程为解解补充利用这个公式，可知上例中解体积元素为二、已知平行截面面积的立体的体积 设一立体在x轴上的投影区间为a, b ，过x点垂直于x轴的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。(3)令lmaxDxi，则立体体积为 (1) 在a, b内插入分点：ax0x1x2 xn1

5、xnb，(2)过xi(i1, 2, , n1)且垂直于x轴的平面，把立体分割成n个小薄片，第i个小薄片体积的近似值S(xi)Dxi。将n个小薄片体积的近似值相加得立体体积的近似值xOax1xi1xixnb二、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立 体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积解：例8立体体积交点旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕 轴旋转一周绕 轴旋转一周绕非轴直线旋转一周三、小结作业: P246 1-6一、平面曲线弧长的概念

6、二、直角坐标情形 10.310.3平面曲线的弧长平面曲线的弧长三、参数方程情形三、参数方程情形四、极坐标情形四、极坐标情形一、平面曲线弧长的概念9.3 求平面曲线线的弧长长二、直角坐标情形弧长元素弧长例 1 计计算曲线线 上相应应于 x 从 a 到 b 的一段 弧的长长度 . 所求弧长为解解曲线线弧为为三、参数方程情形弧长解第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长根据对称性星形线的参数方程为解:证根据椭圆椭圆 的对对称性知故原结论成立.曲线线弧为为四、极坐标情形弧长解解平面曲线线弧长长的概念五、小结求弧长的公式弧微分的概念极坐标系下参数方程情形下直角坐标系下思考题思考题解答不一定仅仅仅仅 有曲线连

7、续还线连续还 不够够，必须须保 证证曲线线光滑才可求长长作业: P252 1;3.10.4 旋转曲面的面积通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？一 定积分的元素法(或微元法)为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形 面积转化为定积分的计算过程。step1. 分割：任意划分a,b为n个小区间step2. 近似：微元法step3. 求和：step4. 取极限：分析：在上述问题注意到: 所

8、求量(即面积)A满足：1。与区间a,b及a,b上连续函数f(x)有关;2。对a,b具有可加性，3。实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第 二步，因此求解可简化如下：step1:选取积分变量及积分 区间（如x属于a,b）step2:取微区间x,x+dx 求出 step3:这种方法称为定积分的元素法或微元法。一般的，如果某一实际问题中所求量Q符合条件:1。Q是与某一变量x的变化区间a,b有关的量；2。Q对于a,b区间具有可加性；3。局部量那么，将Q用积分来表达的步骤如下: step1. 选取积分变量及积分区间step2. 取微区间x,x+dx，求出step3. 求的步骤分 割用分点将区间分成 n

9、 个小区间以 直 线 代 曲把在小区间上的局部量用某个函数 f ( x) 在的值与之积代替求 和把局部量的近似值累加得到总量的近似值, 即设量非均匀地分布 a ,b 上由此可知，若某个非均匀量在区间 a,b 上满足两个条件：（1） 总量在区间上具有可加性，即把区间分成几个小区间时总量就等于各个小区间上的局部量之和，（2）局部量可用近似表示它们之间只相差一个的高阶无穷小不均匀量就可以用定积分来求得这是建立所求量的积分式的基本方法求 极 限1 求微元写出典型小区间 上的局部量 的近似值这就是局部量的微元2 求积分即把微元 在区间 a , b 上 作积分表达式，求它在 a , b 上的定积分，即这就

10、是微元法 “无限积累”起来 ，相当于把 例解:（图一）弧长微元xyo旋转曲面的面积为二 旋转曲面的面积例3解由对称性,有由对称性,有由对称性,有作业 P255：1，2，3.三 小结9.5 9.5 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用一、变力沿直线所作的功 解如果要考虑将单位电荷移到无穷远处所求功为功元素建立坐标系如图解这这一薄层层水的重力为为(千焦)功元素为例3 用铁锤铁锤 把钉钉子钉钉入木板，设设木板对铁钉对铁钉 的 阻力与铁钉进铁钉进 入木板的深度成正比，铁锤铁锤 在第 一次锤击时锤击时 将铁钉击铁钉击 入1厘米，若每次锤击锤击 所 作的功相等，问问第 次锤击时锤击时 又将铁钉击铁钉击

11、 入多 少？设设 次击击入的总总深度为为 厘 米次锤击锤击 所作的总总功为为第一次锤击时所作的功为设木板对铁钉的阻力为解次击击入的总总深度为为第 次击击入的深度为为依题意知，每次锤击所作的功相等二、水压力在端面建立坐标系如图解建立坐标系如图面积元素解三、引力例 6 有一长长度为为 l 、线线密度为为 r 的均匀细细棒， 在其中垂线线上距棒 a 单单位处处有一质质量为为 m 的质质点 M ，计计算该该棒对质对质 点 M 的引力 将典型小段近似看成质点小段的质量为建立坐标系如图解小段与质质点的距离 为为由对称性知，引力在铅直方向分力为水平方向的分力元素引力例7:解: 建立坐标如图积分变量方向: 指

12、向圆弧中点作业:P259 1-10定积分的应用习题课微 元 法理 论 依 据名称释译所求量 的特点解 题 步 骤定积分应用中的常用公式一、主要内容1、理论依据2、名称释译3、所求量的特点4、解题步骤5、定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积直角坐标情形如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函数极坐标情形(2) 体积xyo平行截面面积为已知的立体的体积(3) 平面曲线的弧长弧长A曲线弧为弧长B曲线弧为C曲线弧为弧长(4) 旋转体的侧面积xyo(5) 细棒的质量(6) 转动惯量(7) 变力所作的功(8) 水压力(9) 引力(10) 函数的平均值(11) 均方根二、典型例题例

13、1解由对称性,有由对称性,有由对称性,有例2解如图所示建立坐标系.于是对半圆上任一点,有故所求速度为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为例3: 如图, 平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角 , 计算这平面截圆柱体所得 立体的体积. 解: 取x为积分变量, 变化 区间为R, R, 在R, R 上 任取一点x, 过x作垂直于x轴 的平面截立体, 截面的面积 RRoxyyx解:oyxba例5 用铁锤铁锤 把钉钉子钉钉入木板，设设木板对铁钉对铁钉 的 阻力与铁钉进铁钉进 入木板的深度成正比，铁锤铁锤 在第 一次锤击时锤击时 将铁钉击铁钉击 入1厘米，若每次锤击锤击 所 作的功相等，问问

14、第 次锤击时锤击时 又将铁钉击铁钉击 入多 少？设设 次击击入的总总深度为为 厘 米次锤击锤击 所作的总总功为为设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为解次击击入的总总深度为为第 次击击入的深度为为依题意知，每次锤击所作的功相等例 6 有一长长度为为 l 、线线密度为为 r 的均匀细细棒， 在其中垂线线上距棒 a 单单位处处有一质质量为为 m 的质质点 M ，计计算该该棒对质对质 点 M 的引力 小段的质量为将典型小段近似看成质点建立坐标系如图解小段与质质点的距离 为为由对称性知，引力在铅直方向分力为水平方向的分力元素引力例7解如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为取坐标系如图解底圆方程为截面面积立体体积