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1、第7章 非线性系统7.1 非线性系统概述7.2 描述函数法7.3 相平面分析法7.4 Matlab应用实例Date1熊凌 自动控制原理l非本质非线性能够用小偏差线性化方法进行线性化处理 的非线性。l本质非线性用小偏差线性化方法不能解决的非线性。7.1.1 非线性现象的普遍性7.1 非线性系统概述Date2熊凌 自动控制原理n几种典型的非线性特性Date3熊凌 自动控制原理l饱和特性饱和特性的影响l使系统开环增 益下降，对动 态响应的平稳 性有利。l使系统的快速 性和稳态跟踪 精度下降Date4熊凌 自动控制原理l死区（不灵敏区）特性死区（不灵敏区）特 性的影响l增大了系统的稳 态误差，降低了
2、定位精度。l减小了系统的开 环增益，提高了 系统的平稳性， 减弱动态响应的 振荡倾向。Date5熊凌 自动控制原理l回环（间隙）特性回环（间隙）特性的 影响l降低了定位精度 ，增大了系统的 静差。l使系统动态响应 的振荡加剧，稳 定性变坏。Date6熊凌 自动控制原理l继电器特性继电器特性的影响l理想继电控制系统最终多半处于自振工作 状态。l可利用继电控制实现快速跟踪。l带死区的继电特性，将会增加系统的定位 误差，对其他动态性能的影响，类似于死 区、饱和非线性特性的综合效果。Date7熊凌 自动控制原理系统的稳定性不仅与系统的结构参数有关，而且与初始系统的稳定性不仅与系统的结构参数有关，而且与
3、初始 状态有关。状态有关。产生某一固定振幅和频率的振荡产生某一固定振幅和频率的振荡（一种稳定的周期运动）自振稳定性运动形式稳定、不稳定、自振稳定、不稳定、自振频率响应畸变系统共振产生一定数量的高次谐波的非周期函数、跳跃振荡、产生一定数量的高次谐波的非周期函数、跳跃振荡、 倍频和分频振荡倍频和分频振荡不会产生线性系统那样的共振现象不会产生线性系统那样的共振现象数学模型非线性微分方程非线性微分方程7.1.2 非线性系统的特点Date8熊凌 自动控制原理线线性系统统 非线线性系统统 数学模型 线线性微分方程 （迭加原理） 非线线性微分方程 （不能用迭加原理） 稳稳定性 与系统结统结 构参数 有关 与
4、系统结统结 构参数、初始条件 外部输输入有关 运动动状态态 稳稳定或不稳稳定 稳稳定、 不稳稳定、自持振荡荡 研究重点 稳稳定性、动态动态 及 静态态性能稳稳定性、自持振荡荡研究方法 传传函、频频率法等相平面法、描述函数法、波波 夫法，李亚亚普诺诺夫法等 典型环节环节比例 惯惯性 积积分 微分 振荡荡等 饱饱和、死区、间间隙、继电继电 器等 l非线性系统与线性系统的比较*9熊凌 自动控制原理7.1.3 非线性控制系统的分析方法 描述函数法是一种近似方法，相当于线性理论中频率法的 推广。方法不受阶次的限制，且所得结果也比较符 合实际，故得到了广泛应用。 相平面法适用于一、二阶非线性系统的分析，方
5、法的重点是将 二阶非线性微分方程变写为以输出量及输出量导数为变量 的两个一阶微分方程。然后依据这一对方程，设法求出其 在上述两变量构成的相平面中的轨线，并由此对系统的时 间响应进行判别。所得结果比较精确和全面。但是对于高 于二阶的系统，需要讨论变量空间中的曲面结构，从而大 大增加了工程使用的困难。Date10熊凌 自动控制原理l描述函数法（谐波平衡法）是一种近似方法，相当于线性理 论中频率法的推广。方法不受阶次的限制 ，且所得结果也比较符合实际，故得到了 广泛应用。 7.2 描述函数法Date11熊凌 自动控制原理描述函数的定义：针对一任意非线性系统，设输入x=Asint,输 出波形为y(t)
6、，则可以将y(t)表示为富氏级数形式Date12熊凌 自动控制原理设非线性元件的输出 为奇对称函数Date13熊凌 自动控制原理谐波线性化的处理方法是：以输出 y(t)的基波分量近似地代替整个输出。 亦即略去输出的高次谐波，将输出表示 为Date14熊凌 自动控制原理这意味着一个非线性元件在正弦输入 下，其输出也是一个同频率的正弦量，只 是振幅和相位发生了变化。这与线性元件 在正弦信号作用下的输出具有形式上的相 似性，故称上述近似处理为谐波线性化。一般高次谐波的振幅小于基波的振幅 ，因而为进行近似处理提供了可靠的物理 基础。 Date15熊凌 自动控制原理描述函数法的定义是：输入为正弦 函数时
7、，输出的基波分量与输入正弦量 的复数比。其数学表达式为 Date16熊凌 自动控制原理理想继电器特性的描述函数傅氏展开斜对称、奇函数A0=An=0典型非线性环节的描述函数Date17熊凌 自动控制原理理想继电器特性死区继电器特性滞环继电器特性Date18熊凌 自动控制原理饱和特性死区特性死区饱和特性Date19熊凌 自动控制原理间隙、滞环特性Date20熊凌 自动控制原理组合非线性特性并联：串联：需折算，再根据等效非线性特 性求出总的描述函数注意：Date21熊凌 自动控制原理非线性系统结构图的化简当讨论自振及稳定性时，只研究由系统内部造成 的周期运动，不考虑外力作用，因此，认为外作 用为0。
8、Date22熊凌 自动控制原理基本假设n可归化为下图所示的典型结构。n非线性部分输出中的高次谐波振幅小于基波振 幅。分析非线性系统的描述函数法n线性部分的低通滤波效应较好，高次谐波可忽 略。 当讨论自振及稳定性时， 只研究由系统内部造成的 周期运动，不考虑外力作 用，因此，认为外作用为 0。Date23熊凌 自动控制原理非线性系统的稳定性(乃奎斯特判据) 若开环稳定，则闭环 稳定的充要条件是 G(j) 轨迹不包围复 平面的(-1,j0)。负倒描述函数（描述函数负倒特性)线性系统(-1,j0)?Date24熊凌 自动控制原理 G(j) 与负倒描述函数相交闭环系统出现自持振荡(极限环振荡 ) 稳定
9、 ？不稳定？振幅（A）？频率()？设：系统开环的线性部分G(j)稳定 G(j)不包围负倒描述 函数 闭环系统稳定 G(j)包围负倒描述函 数 闭环系统不稳定Date25熊凌 自动控制原理当微小扰动使振幅A增大到c点时，c点“(-1,j0)” 被G(j )轨迹包围， 系统不稳定； 振幅A继续增大； 不能返回到a。当微小扰动使振幅A减小到d点， d点“(-1,j0)”未被G(j )轨 迹包围，系统稳定； 振幅A继续减小； 不能返回到a。 a点为不稳定自振交点。微小扰动分析法Date26熊凌 自动控制原理当微小扰动使振幅A增大到e点时，e点“(-1,j0)”未被G(j )轨迹包围， 系统稳定； 振幅
10、A减小； 返回到b。当微小扰动使振幅A减小到f点，f点“(-1,j0)” 被G(j )轨迹包围， 系统不稳定； 振幅A增大； 返回到b。b点为稳定自振交点。Date27熊凌 自动控制原理基准负倒数描述函数理想继电器特性非线性特性的尺度系数Date28熊凌 自动控制原理死区继电器特性Date29熊凌 自动控制原理a稳定b不稳定Date30熊凌 自动控制原理 具有饱和特性的非线性系统Aa时A 时负倒描述函数轨迹= 实轴上（-1/k, -)Date31熊凌 自动控制原理 具有死区特性的非线性系统Aa时A 时负倒描述函数轨迹= 实轴上（-,-1/k)。Date32熊凌 自动控制原理 具有间隙特性的非线
11、性系统负倒描述函数为 G平面上一条曲线。A 时Date33熊凌 自动控制原理 具有理想继电器特性的非线性系统负倒描述函数轨迹为 整个负实轴Date34熊凌 自动控制原理 具有滞环继电器特性的非线性系统负倒描述函数为 第三象限内平行于横轴的一组直线。Date35熊凌 自动控制原理例：Date36熊凌 自动控制原理例：非线性环节：线性环节：Date37熊凌 自动控制原理Date38熊凌 自动控制原理自振频率：自振振幅：Date39熊凌 自动控制原理l相平面法l 适用于一、二阶非线性系统的分析， 是时域分析法在非线性系统中的推广。方法 的重点是将二阶非线性微分方程变写为以输 出量及输出量导数为变量的
12、两个一阶微分方 程。然后依据这一对方程，设法求出其在上 述两变量构成的相平面中的轨线，并由此对 系统的时间响应进行判别。所得结果比较精 确和全面。但是对于高于二阶的系统，需要 讨论变量空间中的曲面结构，从而大大增加 了工程使用的困难。7.3 相平面法Date40熊凌 自动控制原理相平面法的实质：将系统的运动过程形象化为相平面上一个 点的移动，通过研究点移动的轨迹获得系统 的运动规律的全部信息。即对一瞬间，系统处于一定状态时，可 用几个变量来表示，如二阶系统，可用两个 变量 来描述相应的状态，在平面上 可定出一个点，随时间变化，就形成一轨线 ，称相轨迹，这个平面称为相平面。Date41熊凌 自动控制原理相轨迹的绘制：二阶系统：1.解析法 2.等倾线法Date42熊凌 自动控制原理等倾线法：即为相轨迹上切线的斜率等倾线切线方向场例1：若已知初始条件，即可绘出相轨迹。Date43熊凌 自动控制原理例2：若已知初始条件，即可绘出相轨迹。Date44熊凌 自动控制原理根与相轨迹j0j0j0节点稳定焦点中心不稳定节点不稳定焦点鞍点j0j0j0Da
