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1、第二章 梁的弹塑性弯曲及梁和刚架的 塑性极限分析2.1 矩形载面梁的弹塑性纯弯曲 2.2 横向载荷作用下梁的弹塑性分析 2.3 强化材料矩形载面梁弹塑性纯弯曲 2.4 超静定梁的塑性极限载荷 2.5 用静力法和机动法求刚架的塑性极限载荷 2.6 极限分析中的上下限定理 2.7 最轻结构的极限设计 2.8 弯矩和轴向力同时作用的情形2.1 矩形截面梁的弹塑性纯弯曲关于梁的两个假定（材料力学）关于梁的两个假定（材料力学） ： 平截面假定：梁的横截面在变形之后仍然保持平面。平截面假定：梁的横截面在变形之后仍然保持平面。 截面上正应力对变形的影响是主要的，其它应力分量的影截面上正应力对变形的影响是主要
2、的，其它应力分量的影 响可以忽略。故应力应变关系可简化为正应力响可以忽略。故应力应变关系可简化为正应力和正应变和正应变 之间的关系。之间的关系。 一、基本关系一、基本关系在图示的矩形截面梁中，如取在图示的矩形截面梁中，如取x x轴为中心线，轴为中心线，y y轴指向梁轴指向梁 的挠度方向，梁的受力状态对称与的挠度方向，梁的受力状态对称与x-yx-y平面时。平面时。 由平面假设，截面上的正应变为由平面假设，截面上的正应变为其中其中 为曲率，为曲率， 和和 都是都是 的函数。的函数。小变形情形下小变形情形下式中挠度以指向轴的方向为正。式中挠度以指向轴的方向为正。 截面上的轴力和弯矩为截面上的轴力和弯
3、矩为式中式中b b和和h h分别为矩形截面的宽度和高度分别为矩形截面的宽度和高度考虑梁的纯弯曲问题，故（考虑梁的纯弯曲问题，故（3 3）式中轴向力为零，）式中轴向力为零，N=0N=0， 而（而（4 4）式的弯矩）式的弯矩 M M 与与 x x 无关。无关。 二、二、弹弹弹弹性性阶阶阶阶段段由由得得将将代入代入（3 3）、（）、（4 4）截面的惯性矩截面的惯性矩说明弯矩和曲率之间有线性关系代入式（代入式（5 5）说明应力分布与y成比例在梁的最上层和最下层，应力的绝对值最大，故开始屈服在梁的最上层和最下层，应力的绝对值最大，故开始屈服 所对应的弯矩和曲率为所对应的弯矩和曲率为弹性极限弯矩弹性极限弯
4、矩弹性极限曲率弹性极限曲率则（则（6 6）式的无量纲形式可写为）式的无量纲形式可写为三、三、弹弹弹弹塑性塑性阶阶阶阶段段考虑考虑 的情形的情形设弹塑性区交界处的设弹塑性区交界处的 值值 为为有有截面上的弯矩：截面上的弯矩：或或（1010）式中，对应于）式中，对应于y=yy=y0 0的应力为的应力为=s s，故故 考虑考虑 的情形的情形（1111）式也可写为）式也可写为对比弹性解对比弹性解1 1、表明虽然梁截面的外层纤维已进入塑性屈服阶段，但由于其、表明虽然梁截面的外层纤维已进入塑性屈服阶段，但由于其 中间部分仍处于弹性阶段，中间部分仍处于弹性阶段，“ “平截面平截面” ”的变形特性限制了外层的
5、变形特性限制了外层 纤维塑性变形的大小，因而它们是处于约束塑性变形状态，纤维塑性变形的大小，因而它们是处于约束塑性变形状态， 梁的曲率完全由中间弹性部分控制。梁的曲率完全由中间弹性部分控制。，塑性极限载荷，在y=0处上下纤维的正应力从+s跳到-s，出现了正应 力的强间断。2 2、3 3、当变形限制在弹性变形的量级时， 材料的塑性变形可以使梁的抗弯 能力得到提高。矩形截面梁矩形截面梁圆形截面圆形截面薄圆管薄圆管工字梁工字梁 三、卸载时载时 的残余曲率和残余应应力 1、卸载规载规 律在卸在卸载时载时载时载时 MKMK之之间应间应间应间应 服从服从弹弹弹弹性性规规规规律律弯矩的改弯矩的改变变变变量和
6、曲率的改量和曲率的改变变变变量之量之间间间间的关系：的关系：应应应应力的改力的改变变变变量：量：2、残余曲率若弯矩完全卸到零，即若弯矩完全卸到零，即残余曲率的表达式残余曲率的表达式卸卸载载载载后的残余曲率与未卸后的残余曲率与未卸载时载时载时载时 的曲率之比：的曲率之比：或：或：适用：适用：或：或：当当时时时时， 显显显显然有然有3、残余应应力其中其中 与与 之之间间间间的关系有式（的关系有式（1313）和（）和（1414）给给给给出出说说说说明：明：1.1.在在弹弹弹弹性区的残余性区的残余应应应应力仍保留原来的符号。力仍保留原来的符号。2.2.卸卸载时载时载时载时 ，应应应应力力变变变变化最大
7、的部位在梁的最外化最大的部位在梁的最外层层层层 由由和和3.3.当再次施加的正向弯矩当再次施加的正向弯矩值值值值不不 超超过过过过M*M*时时时时，梁将呈，梁将呈弹弹弹弹性响性响应应应应。得得外外层层层层的正的正应应应应力改力改变变变变了符号但未出了符号但未出现现现现 反向屈服反向屈服4.4.如卸如卸载载载载到零以后再施加反向弯矩，到零以后再施加反向弯矩，则则则则开始开始时时时时的的 响响应应应应仍是仍是弹弹弹弹性的，当性的，当M M满满满满足足外外层纤维层纤维层纤维层纤维 开始反向屈服开始反向屈服, ,即弯矩的即弯矩的变变变变化范化范围围围围不大不大 于于2 2MeMe时时时时，结结结结构将
8、是安定的。构将是安定的。 2.2横向载荷作用下梁的弹塑性分析一、梁的弹弹性极限载载荷研究矩形截面的理想研究矩形截面的理想弹弹弹弹塑性塑性悬悬悬悬臂梁，在端点受集中力作用臂梁，在端点受集中力作用梁的弯矩：梁的弯矩：当当P P增至增至根部的弯矩根部的弯矩X=0X=0截面的最外截面的最外层纤维层纤维层纤维层纤维 开始屈服开始屈服称称为弹为弹为弹为弹 性极限性极限载载载载荷荷二、塑性状态态时时时时，梁的弯矩分布仍服从（，梁的弯矩分布仍服从（1919）式。）式。设设设设开始开始进进进进入塑性状入塑性状态态态态的截面在的截面在 处处处处，则则则则有有位于位于 的各截面上均有部分区域的各截面上均有部分区域进
9、进进进入屈服状入屈服状态态态态， 其其弹弹弹弹塑性交界位置塑性交界位置1 1、塑性极限、塑性极限载载载载荷荷在在 处处处处，当当 时时时时，即梁根部的整个截面都即梁根部的整个截面都进进进进入塑性流入塑性流动阶动阶动阶动阶 段段称称为为为为塑性极限塑性极限载载载载荷荷与与 相相应应应应的的 值值值值可由可由2 2、塑性、塑性铰铰铰铰塑性铰塑性铰：弯矩达到了塑性极限弯矩，则相应的曲率可任意地弯矩达到了塑性极限弯矩，则相应的曲率可任意地 增长，就好像一个铰那样。增长，就好像一个铰那样。与通常的铰有两点区别与通常的铰有两点区别：1. 1.通常的铰不承受弯矩通常的铰不承受弯矩 ；2. 2.通常较两侧的梁
10、段可在两个方向作相对通常较两侧的梁段可在两个方向作相对 转动，而塑性铰作反方向相对转动对应于转动，而塑性铰作反方向相对转动对应于卸载。卸载。 三、梁的挠挠度1、梁处处于弹弹性状态态以及端条件以及端条件可得可得特特别别别别地地1、梁处处于弹弹塑性状态态弹弹弹弹塑性梁段塑性梁段弹弹弹弹性梁段性梁段当当区区间间间间 中的曲率可由下式中的曲率可由下式给给给给出：出：利用端条件，得利用端条件，得区区间间间间 中的曲率可由下式中的曲率可由下式给给给给出：出：利用利用x=3/Lx=3/L处处处处的的连连连连接条件，得接条件，得其中其中自由端的自由端的挠挠挠挠度度为为为为：可可见见见见，弹弹弹弹塑性塑性变变变
11、变形与形与弹弹弹弹性性变变变变形是同数量形是同数量级级级级的。的。当载荷当载荷P P先加到先加到P P，然后又卸载到零时，自由端，然后又卸载到零时，自由端 的残余挠度？的残余挠度？2.3 强化材料矩形截面梁的弹塑性纯弯曲一般一般强强化材料化材料: :在在纯纯纯纯弯曲条件下，弯曲条件下，单调单调单调单调 加加载时载时载时载时 ，弯矩表达式，弯矩表达式为为为为：作作变变变变量替量替换换换换 后，上式可写后，上式可写为为为为：可得到可得到 M MK K 关系。关系。仅仅仅仅当当 时时时时，上式中的，上式中的 才不才不为为为为零零 如已知如已知K K 0 0，则则则则由（由（9 9）和（）和（1212
12、）式：）式：可直接求得可直接求得M M 值值值值。 如已知如已知M M 0 0，则则则则需用叠代法求出相需用叠代法求出相应应应应的的K K 值值值值和和应应应应力分布。力分布。为为为为此，可利用此，可利用 将（将（2424）式改写）式改写为为为为：上式右端的第一上式右端的第一项为纯弹项为纯弹项为纯弹项为纯弹 性部分，第二性部分，第二项项项项是由于梁的塑是由于梁的塑 性性变变变变形而形而对对对对曲率的修正。注意到曲率的修正。注意到 ，有，有在令：在令：则对则对则对则对 任意两个曲率任意两个曲率 和和 ，由中，由中值值值值定理可得定理可得- - - -现现现现定定义义义义算子算子T T：而将（而将
13、（2727）式写成）式写成采用迭代法：采用迭代法：先令先令则则则则第一次迭代第一次迭代为为为为：由于由于可可见见见见T T 是一个是一个压缩压缩压缩压缩 映象，以上迭代映象，以上迭代过过过过程是收程是收敛敛敛敛的。的。- - -则则则则第第 次迭代次迭代为为为为：2.4 超静定梁的塑性极限载荷以以图图图图示的一次超静定梁示的一次超静定梁为为为为例例设设设设其其 M KM K 曲曲线线线线可由可由图图图图7 7中的理想中的理想弹弹弹弹塑性模型表示，塑性模型表示， 即即当当 时时时时设载设载设载设载 荷荷P P从零开始增从零开始增长长长长。ABAB段和段和BCBC段弯矩是段弯矩是线线线线性分布的性
14、分布的其中其中在根部在根部A A截面截面当当 时时时时， 对应对应对应对应 的的载载载载荷荷为为为为：当当 时时时时（1 1）梁的根部形成一个塑性铰，）梁的根部形成一个塑性铰， 可以产生任意大的曲率。但由于可以产生任意大的曲率。但由于 其它部位仍处于弹性阶段，故根其它部位仍处于弹性阶段，故根 部曲率的大小要受到这些部位的部曲率的大小要受到这些部位的 约束。约束。（2 2）A A点成为塑性铰后，该处的点成为塑性铰后，该处的 弯矩已知，结构成为静定的。弯矩已知，结构成为静定的。由平衡条件得由平衡条件得当当 时时时时，B B点的弯矩点的弯矩为为为为梁成梁成为为为为一个机构而不能一个机构而不能进进进进一步承一步承载载载载。称称为为为为塑性极限塑性极限载载载载荷荷分析：分析：1.1.塑性极限塑性极限载载载载荷并不依荷并不依赖赖赖赖于于弹弹弹弹模模 E E，其其值仅值仅值仅值仅 与与结结结结构本身和构本身和 载载载载荷有关，而与荷有关，而与结结结结构的残余构的残余应应应应力状力状态态态态和加和加载历载历载历载历 史无关。史无关。弹塑性结构的极限载荷与刚塑性结构的极限载荷是相同的弹塑性结构的极限载荷与刚塑性结构的极限载荷是相同的2.2.若若仅计仅计仅计仅计 算极限算极限载载载载荷，无荷，无须须须须分析分析弹弹弹弹塑性塑性变变变变形形过过过过程，
