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1、（四）初等函数 1、基本初等函数以上六类函数称为基本初等函数. A.常函数yOxB.幂函数yOx121yOxB.幂函数yxOoxC.指数函数D.对数函数xay=xOE.三角函数y 1o-1y 1o-1E.三角函数E.三角函数F.反三角函数F.反三角函数2、初等函数例如：是初等函数。由基本初等函数经过有限次四则运算以及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为初等函数。注意分段函数：有些函数，对于其定义域内自变量不同的值，不能用一个统一的解析式表示，而要用两个或两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数。分段函数是一个函数，而不是两个或几个函数分段函数是初等函数吗？问题1.5常用经济函数及其应
2、用单利与复利 利息是只指借贷者向贷款者支付的报酬,它 是根据本金的数额按一定比例计算出来的.利息又有存 款利息、债券利息等几种形式. 1.单利计算公式 2.复利计算公式需求函数、供给函数与市场均衡 需求函数是指在某一特定时期内，市场上某种商品的 各种可能的购买量和决定这些购买量的诸因素之间 的数量关系. 假定其他因素不变,则决定某种商品需求量的因素就是 这种商品的价格.Qd=f(P), Qd是需求量, P是价格. 需求函数的反函数称为价格函数,习惯上将价格函数也 称为需求函数.供给函数 供给函数是指在某一特定时期内,市场上某种商品的各 种可能的供给量和决定这些供给量的诸因素之间的 数量关系.
3、Qs=f(P), Qs表示供给量,P表示价格. 当商品的价格提高时,商品的供给量将会增加,供给量 是关于价格的单调增加函数.市场均衡如果需求量等于供给量，则这种商品就达到了市场均 衡.Qs=Qd, P0,这个价格P0称为该商品的市场均衡价格. 当市场价格高于均衡价格时,将出现供过于求的现象, 当市场价格低于均衡价格时,将出现供不应求的现象. Qs=Qd=Q0，称为市场均衡数量.成本函数、收入函数与利润函数 成本函数表示费用总额与产量之间的依赖关系,产品成 本分为固定成本和变动成本. 变动成本是指随产量变化而变化的那部分成本. 成本函数C=C(x), x为产量. 当产量为0时,对应的成本函数值就
4、是产品的固定成本 值.收入函数与利润函数 销售某种产品的收入R，等于产品的单位价格P乘以销 售x，即R=Px,称为收入函数. 而销售利润L等于收入R减去成本C，L=R-C，称其为利润函数. 生产者盈利； 生产者亏损； 生产者盈亏平衡；数列极限函 数 极 限左右极限极限存在的 充要条件无穷大两者的 关系无穷小 的性质极限的性质求极限的常用方法无穷小判定极限 存在的准则两个重要 极限无穷小的比较等价无穷小 及其性质唯一性极限数列极限一、概念的引入1、割圆术：“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”刘徽播放正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积2、截丈问题：
5、“一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的定义例如注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取2.数列是整标函数播放三、数列的极限观察数列问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察:对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的凭观察能判定数列的极限是多少吗显然不能问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.这就是“当n无限增大时，xn无限地接近于1”的实 质和精确的数学描述。如果数列没有极限,就说数列是发散的.注 定义1习惯上称为极限的N定义，它用两个动态指标和N刻画了极限的实质，用|xna| 定量地刻
6、画了xn 与a 之间的距离任意小，即任给 0标志着“要多小”的要求，用n N表示n充分大。这个定义有三个要素：10，正数，20，正数N，30，不等式|xna|（n N）定义中的具有二重性：一是的任意性，二是 的相对固定性。的二重性体现了xn 逼近a 时要 经历一个无限的过程（这个无限过程通过的任意 性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现， 而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通 过的相对固定性来实现）。定义中的N是一个特定的项数，与给定的有关。重要的是它的存在性，它是在相对固定后才能确定的，且由|xna|来选定，一般说来，越小，N越大，但须注意，对于一个固定的，合乎定义要求的 N不是
7、唯一的。用定义验证xn 以a 为极限时，关键在 于设法由给定的，求出一个相应的N，使当n N时 ，不等式|xna|成立。在证明极限时，n，N之间的逻辑关系如下图所示|xna| n N定义中的不等式|xna| （n N）是指下面 一串不等式都成立，而对则不要求它们一定成立数列极限的几何意义使得 N 项以后的所有项都落在a点的邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外 都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn 中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定 的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。注意： 数列极限的定义未给出求极限的
8、方法.例1 证明因此则当n N时，有利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式 |xna|不易考虑，往往采用把|xna|放大的方法。 若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单 的不等式去寻找项数指标N 放大的原则：放大后的式子较简单放大后的式子以0为极限例2 证明证明则当n N时，有例3证若q=0则上式显然成立下证q0的情形（不妨设1）注在论证极限问题时，都可以假设1，因为若对小于1的已经得到项数指标N，则对于 大于1的上述项数指标N仍合乎定义要求。例4证四、数列极限的性质1.有界性例如,有界无界定理1 收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论 无界数列必定发散.
9、2.唯一性 定理2 每个收敛的数列只有一个极限.分析直接证明较困难，采用反证法由数列极限的几何意义，在a的任一邻域内聚集着xn中的无穷多个点，而在 该邻域之外至多有xn中的有限个点证用反证法a b不妨设a b矛盾，这说明结论成立例5证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.在数列 xn 中任意抽取无限多项并保持这些项在原 数列中的先后次序，得到的数列称为子数列：定理3若数列xn 收敛于a ，则它的任一子数列 也收敛，且极限也是a这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关 系。由此可知，若数列xn 有两个子数列收敛于不同的 极限值，则xn一定是发散的。例6对于数列xn 证此时有此时有总之：恒有五.小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质:有界性唯一性.
