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1、Mathematical Modeling，ECUST，2004节水洗衣机模型 v问题的提出v假设和定义v建立模型v分析和求解v仿真v结论和讨论Mathematical Modeling，ECUST，20041 问题的提出我国淡水资源有限，节约用水人人有责。 洗衣机在家庭用水中占有相当大的份额，目 前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分 重要。假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的 运行过程为：加水-漂水-脱水-加水-漂水-脱 水-加水-漂水-脱水（称“加水-漂水-脱水” 为运行一轮）。请为洗衣机设计一种程序（ 包括运行多少轮、每轮加多少水等），使得 在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最 少。选用
2、合理的数据进行计算。对照目前常 用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果 作出评价。Mathematical Modeling，ECUST，20042 假设和定义2.1 基本假设n仅考虑离散的加水方案，即每次脱水完后全换成清水 进行下一次漂洗。n每次洗漂加水量不能低于 ，否则洗衣机无法转动； 加水量不能高于 ，否则会溢出。设n每次洗漂的时间是足够的，以便衣服上的脏物充分溶 入水中从而使每次所加的水充分利用n脱水时间也是足够的，以使脏水充分脱出，即让衣服 所含的脏水量达到一个极限，设这个极限为一个大于 0的常数 ，并由于脱水时不另加水故Mathematical Modeling，ECUST，200
3、42.2 变量定义n设共进行 n 轮“洗漂 脱水”的过程， 依次为第0轮，第1轮，第 轮n第 轮用水量为n衣服上的初始脏物为 ，在第 轮脱水 之后的脏物量为Mathematical Modeling，ECUST，20043 建立模型3.1 溶解特性和动态方程在第 轮洗漂之后和脱水之前，第 轮脱水之 后 脏物量 已变成了两部分：其中 表示已溶入水中的脏物量， 表示尚未溶入 中的脏物量。 与第 轮的加水量 有关，总的规律 应是， 越大 越大，且当 时， 最小（0， 因为此时洗衣机处于转动临界点，有可能无法转动 ）， 当 时 最大（ 这里假设 ，其中 称为溶解率）因此简单地选择线性关系表示这种 溶解
4、特性则有：（3.1.1）（3.1.2 ）Mathematical Modeling，ECUST，2004在第 轮脱水之后，衣服上尚有脏物。有脏水 ，其中脏水 中 含有脏物量为 ，于是第 轮完成 之后衣服上尚存的脏物总量为：将（3.1.2）代入上式整理后得系统动 态方程：（3.1.3 ）（3.1.4 ）Mathematical Modeling，ECUST，20043.2 优化模型由于 是洗衣全过程结束后衣服上残存的脏物量 ，而 是初始脏物量，故 反映了洗净效果 。由系统动态方程（3.1.4）可得：又总用水量为：于是可得优化模型如下：（3.2.1）（3.2.3）（3.2.2）Mathematic
5、al Modeling，ECUST，2004n若令：n则优化模型变成为更简洁的形式：Mathematical Modeling，ECUST，20044 分析与求解n4.1 最少洗衣轮数n定义函数 n （4.1.1 ）n易知n （4.1.2 ）n可见r(t)是区间0,1上的单调减函数，所以n （4.1.3 ）n第k轮的洗衣效果为n n （4.1.4 ）Mathematical Modeling，ECUST，2004n由此不难得出n轮洗完后洗净效果最多可达到n n （4.1.5 ）n给定洗净效果的要求 则应有n （4.1.6 ）n于是 （4.1.7 ） n若考虑 的值不大于0.99。而 代表脱水后
6、衣服上 的尚存水量与最高水量之比，其数量级是很小的 ，所以n （4.1.8 ）n比如 小于万分之一，则有*式。这样最少洗衣 轮数的估计值为： (4.1.9) n Mathematical Modeling，ECUST，2004n设 满足（4.1.9）的最小整数，表-4.1.1给出了洗 净效果要求为千分之一和万分之一时 的关 系。n n4.2 算法n选用一种非线性规划算法，对于 n（凭常识洗衣的轮数不应太多，比如可取 ）分 别求解，然后选出最好的结果。其中 是满足（4.1.7 ）或（4.1.9）的最小整数，注意不必使用混合整数非 线性规划算法，那将使问题复杂化。Mathematical Mode
7、ling，ECUST，20045 仿真n5.1 数据n这里基于常识给出了一组用于仿真的数据，实际数据应通 过实验获取（见6.2）。n1）洗衣效果要求为千分之一，即 。n2）每轮用水量下限为上限的百分之二十五，即 。n3）脱水后衣服上的脏水量为用水量上限的十万分之一， 即 。n由2），3）易得n5.2 结果n表 5.2.1是溶解率 时不同洗衣轮数n下的最少总用水 量和每一轮的最优用水量（各轮的最有用水量恰好相等） 。 5.2.2是不同溶解率 之下的最优洗衣轮数，最少总用水 量和每一轮的最优用水量（各轮的最优用水量恰好相等） 。Mathematical Modeling，ECUST，2004备注1
8、无解 21.95630.9782 32.72730.9091 43.32190.8305 53.78190.7564 64.14410.6907 74.43510.6336 84.67320.5842 94.87140.5413 105.03860.5386表 5.2.1：Mathematical Modeling，ECUST，2004表5.2.2备注0.99 21.95630.97820.95 32.84210.94740.90 43.65400.9135 由计算误差引起 0.85 43.86900.96730.80 54.68010.93600.7065.86100.97680.60 87
9、.71080.96380.50 109.97640.9976Mathematical Modeling，ECUST，20046 结论和讨论 6.1 若干结论基于前述分析和初步的仿真试验结果，可得出一些有用的结 论：1）最优洗衣轮数等于最少洗衣轮数。2）每轮用水量应相同，没有必要一轮多用水，而另一轮少 用 水（除非考虑“洗涤”与“漂洗”的不同，见以下6.2）。3）设法增加溶解率 可以成倍地节约用水。如适当延长洗 漂时间，选用好的洗涤剂等。6.2 讨论 1） 乘积约束可化为： （6.2.1 ）在计算中要注意采取适当措施防止溢出，如可用 代替 ，其中 是机器的最小正浮点数。Mathematical
10、Modeling，ECUST，20042) 可考虑“洗涤”和漂洗的不同（两者统称“洗漂”）， 前者加洗涤剂。一般仅第0轮是洗涤。可用特殊的溶 解特性（ 关系）加以区别，例如考虑到多加水 会降低洗涤剂的浓度，其溶解特性用具有最大值的 单峰函数表示应当更合理。3）在实际中，无论是参数 以及洗净效果要求 ，还是溶解特性，均应在各种不同条件（比如针对 衣服量的“少”，“中”，“多”）通过试验确定。4）受仿真结果的启示，提出猜想：“最优洗衣轮数等 于最少洗衣轮数 且每轮洗漂的最优用水量相等”， 即有 若真如此，则易知每轮的最优用水量 就是下列 二次方程的解：（6.2.2） 是满足（4.1.7）或（4.1.9）的最小整数，这样问题大为化简。尚未找到一种简明的方法来证明（ 或否定）此猜测。Mathematical Modeling，ECUST，2004附注：这是1996年全国大学生数模竞赛B题的参考答案，从假设、建模、到结果分析都给参赛者留下较大的创新余地！
