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1、用心 爱心 专心第三讲 空间位置关系与综合题目的向量解法知识梳理知识梳理知识盘点知识盘点 一平行关系 （1）所谓直线的方向向量，就是指 的向量，一条直线的方向向 量有 个。 （2）所谓平面的法向量，就是指所在直线与平面垂直的直线，一个平面的法向量也有个。 1线线平行 证明两条直线平等，只要证明这两条直线的方向向量是 ，也可以证这 两条直线平行于同一个平面的法向量。 2 线面平行 证明线面平行的方法： （1）证明直线的方向向量与平面的法向量 ； （2）证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量 ； （3）利用共面向量基本定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量是 。 3面面平行
2、的证明方法： （1）转化为 、 处理； （2）证明这两个平面的法向量是 。 二垂直关系 4线线垂直：证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是 ； 5线面垂直的证明方法： （1）证明线面垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是 ； （2）证明直线与平面内的 ； 6面面垂直的证明方法： （1）转化为证明 、 ； （2）证明这两个平面的法向量是 。 特别提醒特别提醒 1.用向量证明立体几何问题，有两种基本思维：一种是用向量表示几何量，利用向量的运 算进行判断；别一种是用向量的坐标表示几何量，共分为三步进行判断：(1)建立立体图形 与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中的点、线、面，把立
3、体几何问题转化 为向量问题；(2)通过向量的运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几 何意义来解释相关问题。 2用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何定理。例如要证明线面平行，只需 要证明平面中的一条直线和平面内的一条直线平行，即转化为证明线线平行问题，也就是用向量方法证明直线时，只需要证明直线的方向向量共线即可。/ab, a ba,b3向量作为沟通“数”与“形”的桥梁，是利用数形结合解题的一种重要载体，只有掌握 了向量运算的各种几何意义，才能较好地利用向量这一工具解决实际问题。 4以柱体、锥体为依托，考查空间中的线线、线面、面面关系，以及角和距离是高考的 “热点”
4、，在角题时，应深入挖掘里面的特殊关系，尤其是垂直关系，建立空间直角坐标系，用心 爱心 专心是解决此类问题的关键。基础闯关基础闯关1正方体中，是的中点，是底面的中心，是棱1111DCBAABCD M1DDOABCDP上任意一点，则直线与直线所成的角是( )11ABOPAM(A) (B) (C) (D)与点的位置有关4 3 2P2在正方体中，是底面的中心，分别是棱、1111DCBAABCD OABCD,M N1DD的中点，则直线( )11DCOM(A)是与的公垂线 (B)垂直于，但不垂直于ACMNACMN (C)垂直于，但不垂直于 (D)与、都不垂直MNACACMN 3在正方体中，是异面直线和的公
5、垂线，则直线与1111DCBAABCD PQ1ADACPQ的关系是( )1BD(A)异面直线 (B)平行直线 (C)垂直但不相交 (D)垂直相交4空间中有四点，其中，且, ,A B C D(2 ,2)ABm m ( ,1, 5)CDm m ABCD ，则直线和( )13(5, 3)3ABCD(A)平行 (B)平行或重合 (C)必定相交 (D)必定垂直5设是平面外一点，点满足，则直线与平面OABCP311 488OPOAOBOC AP的位置关系是 。ABC 6已知矩形中，平面，且，若在边ABCD1,(0),ABBCa aPAAC1PA BC上存在一点，使得，则的取值范围是 。QPQQDa 典例精
6、析典例精析例例 1已知是正三棱柱，是的中点，求证：平面111ABCABCDAC1/AB1DBC剖析剖析证明线面平行问题，可以有以下三种方法：(1)利用线面平行的判断定理，转化为线线平行问题；(2)向量与两个不共线的向量共面的充要条件是存在实数对，使pa,b, x y得，利用共面向量基定理可以证明线面平行问题；(3)设为平面的法向量，xyp = a+ bn要证明直线平面，只需要证明即可。/a0a n =解解证法一：建立如图所示的空间直角坐标系，设正三棱Axyz柱的底面边长为，侧棱长为，ab则 1133(0,0,0), (,0),(0, , ),(, ),(0,0)22222aaaABaCa b
7、Bab D从而1133(, ),(,0,0),(0, )2222aaABab BDaDCb zCxDyBAC1B1A1用心 爱心 专心设平面的法向量，由，得1DBC( , , )x y zn1,BDDC nn13002022xBDax azyaDCybzb nn取，得，由，得，即1y (0,1,)2a bn13(, ) (0,1,)0222aaABabbn1AB n平面.1/AB1DBC证法二：证法二：如图所示，记，1,ABACAA abc则，11 2ABDBABAD a+b,ab111 2DCDCCC b+c，共面， 平面，11DBDCAB a+c =11,AB DB DC 1B 1DBC平
8、面1/AB1DBC警示警示利用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直关系问题，主要运用了直线的方向向量与平面的法向量的，同时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的定理。另外，利用向量知识解题，一般不需要添加辅助线，只是利用向量运算及向量基本定理，把要证明的直线或平面用该平面内的向量表示即可。变式训练变式训练1 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱长为，分别是和上的a,M N1ABAC点，求证：平面.12 3AMANa/MN11BBC C例例 2(2006 年山东高密调研)如图，在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，PD=DC，E、F 分别是 A
9、B、PB 的中点. （）求证：EFCD； （）在平面 PAD 内求一点 G，使 GF平面 PCB，并证 明你的结论。 剖析剖析证明线线垂直问题，可以利用线线垂直的判定定理，或者证明这两条直线的方向 向量的内积为零。 解解以 DA、DC、DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图） ，设NMD1DCBAC1B1A1用心 爱心 专心AD=a，则 D（0，0，0） 、A（a,0,0） 、B(a,a,0)、C(0,a,0)，、)0 ,2,(aaE)2,2,2(aaaF)., 0 , 0(aP（）, 0)0 , 0()2, 0 ,2(aaaDCEF.DCEF （）.), 0 ,(P
10、ADGzxG平面则设2(,),222(,) ( ,0,0)()0,;22222(,) (0, )()0,0.22222(,0,0),.2aaaFGxzaaaaaFG CBxzaa xxaaaaaFG CPxza aa zzaGGAD 点坐标为即点为的中点警示警示本题是一道开放型的综合题目，以四棱锥为载体，考查线线垂直、线面垂直关系， 对于此类问题，要掌握柱休与锥体特有的性质、关系，在解题时要充分利用，从而找出隐 含条件，促使问题的解决。 变式训练变式训练2正方体的边长为 4，分别是棱的1111ABCDABC D,M N E F11111111,AD AB DC BC中点，求证：平面平面./AM
11、NEFBD例例 3(2006 年河南开封)已知正四棱柱中，分别为1111ABCDABC D2AB ,M N的中点，平面.1111,AD C D1BD DMN（I）求二面角平面角的正切值；1BDNC（II）求点到平面的距离1ABDN剖析剖析由于题设中条件中已知平面，而可知的方法向量即为平面1BD DMN1BD的法向量。DMN解解 （1）如图建立坐标系，设1DDx故、(2,2,0)B1(0,0, )Dx(1,0, )Mx(0,1, )Nx1(1,0, ),( 2, 2, )DMx BDx zABCDxyA1B1C1D1MN用心 爱心 专心即1BDDMN面1BDDM10BDDM 220,2xx 向量
12、与面垂直(1,0,0)m 1DNC设与面 BDN 垂直，则( ,1, )nab0,0n DNn DB 即 120,220ba2( 1,1,)2n 12cos,5| |512m nm nmn 设所求二面角为，则， 2cos56tan2（2）由，在向量方向上的投影为11(2,0, 2), (2,2,0)(0,2,2)ABAB1ABn，所以到面的距离为1213 10 5|5 2AB n n 1ABDN3 10 5警示警示若问题的题设中存在垂直关系时，建立空间直角坐标系大多较为方便；如果不存 在时，应选好基底进行运算，或采用传统的欧氏几何法加以证明。 变式训练变式训练3. 如图，PD 垂直正方形 AB
13、CD 所在平面，AB2，E 是 PB 的中点，）DPcosAE33（1）建立适当的空间坐标系，写出点 E 的坐标； （2）在平面 PAD 内求一点 F，使 EF平面 PCB例例 4在正方体中，分别是的中点。1111DCBAABCD ,E F1,BB CD(1)证明：平面平面；AED 11AFD(2)在上求一点，使得平面.AEM1AM 11AFD剖析剖析证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判断定理，转化为证明线面垂直、线线垂直的问题去证明，二是证明两个平面的法向量互相垂直。用心 爱心 专心解解 （1）建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设正方体的棱长为 2，则Dxyz，设平面11(2,0,0), (2,2,1),(0,1,0),(2,0,2),(0,0,2)ABFAD的法向量为，则AED111( ,)x y z1n =，1111( ,) (2,0,0) = 0DAx y z n，1111( ,) (2,2,1) = 0DEx y zn，令，得，同理111120,220xxyz10y (0,1, 2)1n =可得平面的法向量.11AFD(0,2,1)2n =，平面平面.120n nAED 11AFD（2）由于点在直线上，设MAE(0,2,1)(0,2 , )AMAE
