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1、生活中的优化问题举例1、如图所示，设铁路50AB，CB、之间的距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为 4，问在在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A至C最省？2、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为10 海里 /小时， 燃料费每小时6 元，而其他与速度无关的费用是每小时96 元，问轮船的速度是多少时，航行 1 海里所需的费用总和最小？3、已知BA、两地相距 200km，一条船从A地逆水到B地，水速为hkm /8，船在静水中的速度为08/vvhvkm， 若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当hkmv/12时，每小时的燃料费为720
2、 元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？4、已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线24xy在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长。5、扇形AOB中，半径2, 1AOBOA，在OA的延长线上有一动点C，过C点作CD与弧AB相切于点E，且与过点B所作的OB的垂线交于点D，问当点C在什么位置时，直角梯形OCDB的面积最小？6、从长为 32cm、宽为 20cm的矩形薄铁板的四角剪去边长相等的正方形，做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？7、某集团为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查， 每年投入广告费t(百万元 )
3、，可增加销售额约为tt52(百万元 )50t(1)、若该公司将当年广告费的投入控制在3 百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)、现该公司准备共投入3 百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额约为xxx3 3123(百万元 )；请设计一个资金分配方案，使公司由此获得的收益最大。(注：收益 =销售额 - 投入资金 ) 8、一汽车以hkm /50的速度沿直线行驶，同时一气球以hkm/10的速度离开此车垂直上升，求 1h后他们彼此分离的速度。9、设某物体一天中的温度CT是时间ht的函数：023adctbtattT；0t表示 1
4、2 点，0t，表示 12 点以后，0t表示 12 点以前，若测得该物体在8 点的温度为C8，12 点的温度为C60，13 点的温度为C58，并且该物体的温度在8 点和 16点有相同的变化率。(1)、写出该物体的温度T与时间t之间的函数表达式；(2)、该物体在10点到 14 点这段时间内 (包括 10 点和 14 点)，在何时温度最高？最高值时多少？生活中的优化问题举例的答案1、设M为AB上的一点，且xMB，则AM上的运费为x502，MC上的运费为22104x，则由A到C的总运费为50010045022xxxxp210042 xxxp，令0xp，解得 310,3310 21xx(舍去 ) 当3
5、310x时，0xp；当3310x时，0xp；当3310x时，xp取得最小值；在离B点距离为3 310的点M处修筑公路至C时，货物运费最省。2、设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，设3kvp；由6,10 pv得：3006.0;006.0vpk设当船的速度为每小时v海里时，行1 海里所需的总费用为q元，则每小时所需的总费用为：96006. 03v(元)；而行 1 海里所需时间为 v1小时，多以，行1 海里的总费用为：8000012.096012.0;96006.096006.013 2223vvvvqvvvvq令0q，解得：20v当20v时，0q；当20v时，0q；20v时取得最小值；速度为
6、 20 海里 /小时时，航行1 海里所需费用总和最小。3、设每小时的燃料费为1y，比例系数为0kk；则2 1kvy，当12v时，7201y2 125;5;12720vykk设全程燃料费为y，则22218160001000;810008200vvvyvvvyy令0y；解得16v；当160v时，即16v时全程燃料费最省当160v时，即0, 8 vv时，yy,0在0, 8 v上为减函数；0vv时；8100002 0 minvvy；综上所述，当160v时，hkmv/16，全程燃料费最省，为32000 元当160v时，则0vv时全程燃料费最省，为8100002 0 vv元。4、如图；设矩形边长202xx
7、AD，则24xyAB0y，则矩形的面积20422xxxs，即328xxs268xs，令0s，解得332,332 21xx(舍去 )；当3 320x时，0s；当2332x时，0s当3 32x时，s取得最大值，即3932 maxs矩形的边长为334、 38时，矩形的面积最大。5、如图所示，过D作OADF于F，则OEC DFC ；CDOC；设1xxOC。在CDFRt中，222DFCFCD，即; 122BDxx;12xxBD梯形的面积1221212xxOBOCBDS12212xxS，令0s，解得332,332 21xx(舍去 )；当3 32x时，0s；当3321x时，0s；当3 32x时，s取得最小值
8、；当332OC时，直角梯形OCDB的面积最小。6、设去的正方形边长为x；则容积100220232xxxxv640208122xxv；令0v；解得340,421xx(舍去 )；当40x时，0v；当104x时，0v；当4x时；3 max1152 cmv去的正方形边长为4cm时，箱子容积最大；最大容积是31152cm。7、(1)、设投入t(百万元 )的广告费后增加的收益为tf(百万元 )，则204245222ttttttttf当2t(百万元 )时，tf取得最大值4 百万元投入 2 百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大。(2)、设用于技术改造的资金为x(百万元 )，则用于广告促销的资金为x3(百
9、万元)30x，设由此获得的利润为xg，则30343133533313223xxxxxxxxxg42xxg，令0xg；解得：2x或2x(舍去 ) 当20x时，0xg；当32x时，0xg；xg在2,0上增函数，在3 ,2上是减函数当2x时，xg取得最大值将 2 百万元用于技术改造，1 百万元用于广告促销，该公司获得的利益最大。8、设时间为t，路程为s，则汽车与气球之间的距离为：ttttg2610501022；2610ts1h后他们彼此分离的速度为hkm/26109、(1)、由题意得：5860841664;58160084dcbaddcbaTTT；该物体的温度在8 点和16 点有相同的变化率；cbacbaTTcbtatT848848;44;2320b；将0b代入上述方程组得：60, 3, 0, 1dcba；6033ttT(2)、由 (1)得，22113332tttttT；令0tT得1t当t变化时，tT和tT的变化情况如下表：t1, 211 ,11 2, 1tT+ 0 0 + tT可知1t时是函数的极大值点，且极大值为1;621tT时是函数的极小值点，且极小值为581T；而函数在区间2,2的端点函数值为622,582TT；当2t或1时，tT取得最大值；在 11点、 14 点时物体的温度最高，最高温度为C62。
