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1、返回 上页 下页 结束 复习 6 无穷级数主要考点:数项级数的判敛幂级数求收敛域、和函数及函数的幂级数展开 傅氏级数展开及收敛问题返回 上页 下页 结束 1.数项级数的审敛法(1) 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性(2) 正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别部分和极限返回 上页 下页 结束 (3) 任意项级数审敛法Leibniz判别法: 且则交错级数收敛 ,绝对收敛与条件收敛且余项绝对收敛的判别 利用正项级数判别法2. 求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式 直
2、接用比值法或根值法处的敛散性.若返回 上页 下页 结束 3. 函数展开成幂级数 直接展开法 间接展开法 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式常用公式: 求导展式返回 上页 下页 结束 求部分和式极限4. 幂级数和函数的求法 求和 映射变换法 逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和: 直接变换, 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内） 数项级数求和返回 上页 下页 结束 5. 傅里叶级数(1) 周期为 2 的函数的傅里叶展开其中注意: 若为间断点,则级数收敛于(2) 在 0 , 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 , 展开为正弦
3、级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数返回 上页 下页 结束 (3) 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式注意:( x 间断点)其中为正弦级数. 2) 当f (x)为奇函数时,为间断点,级数收敛于1) 若为余弦级数. 当f (x)为偶函数时,返回 上页 下页 结束 实例分析 级数收敛 , 当 时级数发散 . 当 时提示:故 a 1 时原级数发散 ; a = 1 时,故原级数也发散 1. 给定级数 填空题 ( 题 1-5 )返回 上页 下页 结束 2. 幂级数的收敛域为提示: 令当时 , 级数为, 发散则化为标准幂级数其收敛半径为故原级数级数的收敛域为即故原级数收敛域为返回 上页 下页 结束
4、4. 设, 又设 S(x) 是 f (x) 的 以 2 为周期的余弦级数展开式的和函数, 则 提示: 3. 级数的收敛半径 R = .提示:( 03届考题)返回 上页 下页 结束 5. 设的傅立叶级数为则系数 , 级数在处收敛于提示:返回 上页 下页 结束 选择题 ( 题6-10 )( 常数 a 0 ) ( )6. 级数(A) 发散; (B) 条件收敛 ;(C) 绝对收敛; (D) 收敛性与 a 的有关 .( L. P504 题29 )提示: 故原级数绝对收敛 .C返回 上页 下页 结束 肯定收敛的是（ )7. 设 则下列级数中提示:D收敛绝对收敛返回 上页 下页 结束 的收敛半径为R1 ,
5、则必有( )8. 设级数提示: 参看P196 性质1 及P198 注.C的收敛半径为 R, 级数例如, 时, 收敛半径 R = 1,( 02届考题)返回 上页 下页 结束 9.已知在收敛 , 则此级数在处 ( )(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不能确定提示: 令由阿贝尔定理知B因此时绝对收敛 ,即处绝对收敛 .原级数在返回 上页 下页 结束 10. 设函数而其傅立叶级数为其中则提示: S (x) 是对 f (x) 在 (1 , 0 ) 上作奇延拓后展开B的傅立叶级数返回 上页 下页 结束 11. 证明: 若12. 判别级数的敛散性.则级数 发散 .证: 由于解:
6、 该级数为交错级数, 且, 故级数收敛 .( 03届考题)( 03届考题)返回 上页 下页 结束 13. 讨论 a 为何值时级数收敛 ,取何值时发散 . 解: 当 a e 时, 原级数发散 ;当 0 a e 时, 原级数收敛 .返回 上页 下页 结束 14. 设是收敛的正项级数 , 证明收敛证: 由于强级数收敛 , 故原级数收敛.思考. 设 常数(A) 发散; (B) 条件收敛 ;(C) 绝对收敛; (D) 收敛性与 有关 .收敛 , 则级数且级数C(LP504 题30) 返回 上页 下页 结束 15. 若级数及都收敛 , 且证明级数收敛 . 证明: 因为而收敛 ,收敛 .又由及收敛 , 知收
7、敛 .所以返回 上页 下页 结束 16. 试求幂级数 的收敛域及和函数 . 提示: 级数的收敛半径 R = 1, 收敛域为( 1 , 3 ) .( 03届考题)练习题: 试求幂级数 的收敛域及和函数 . ( 04届考题)返回 上页 下页 结束 17. 将函数展成 x 的幂级数 .解: 返回 上页 下页 结束 18. 将函数展为 x 的幂级数, 并指出其收敛域. 解:收敛区间为 ( 03届考题)返回 上页 下页 结束 19. 将展成 x 的幂级数 . 解: 返回 上页 下页 结束 20. 将函数展成余弦级数 .解: 将 f (x) 进行偶延拓和周期延拓 ,则返回 上页 下页 结束 练习. 将 展
8、开成正弦级数. ( 02届考题) 答案. 返回 上页 下页 结束 备用题: 1. 判别级数绝对收敛还是条件收敛 , 并求其和 . 解: 因为所以级数不绝对收敛, 又显然级数满足莱布尼兹条件,故原级数条件收敛 , 其和为返回 上页 下页 结束 返回 上页 下页 结束 2. 求级数的收敛域与和函数. 解: 令则当时, 发散 ;故级数收敛域为在其上和函数为返回 上页 下页 结束 3. 求幂级数的收敛域与和函数,并由此导出解: 当 x = 2 时, 发散 ;当 x = 2 时,收敛 ;故所给的收敛域为 2 , 2 ) , 在其上和函数为的计算式 . 返回 上页 下页 结束 返回 上页 下页 结束 4. 将展成 x 的幂级数, 求 的无穷解: ( x = 1 时 , 上述级数也收敛 )级数表达式 . 令 x = 1 得 返回 上页 下页 结束 5. 已知试将展成 x 的幂级数 . 解:
