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1、称为二次型.的二次齐次函数个变量含有定义nxxxn, 121L复二次型实二次型6.1 二次型的定义和矩阵表示 第六章 二次型与正定矩阵 1用和号表示对二次型2用矩阵表示在矩阵表示中,由于 ,所以 。另外，若 为 阶对称矩阵，且必有 。在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系; 的矩阵叫做二次型对称矩阵fA; 的二次型叫做对称矩阵 Af. 的秩的秩叫做二次型对称矩阵fA解例6.1.1也可以做以下表示对应的矩阵为注意：只有当其中的 为对称矩阵时，才为二次形 的矩阵表示。6.2 二次型
2、的标准形 定义6.2.1 只含变量的平方项，不含交叉项，即形如 的二次型，称为二次型的标准形。 下面要论如何将一般的二次形化为标准形下面要论如何将一般的二次形化为标准形一般地，二次型可写成定义6.2.2 设 与 是两 组变量，称下组公式为 到 的线性替换。令则上组公式可表为其中 是一个关于 的二次型。 若 ，则称此线性替换是可逆的(或满秩的或非退化的)。若 为复(实)方阵，则称此线性替换是复(实)线性替换将 代入6.2.1 得例6.2.1 设定义6.2.3 对任意 阶矩阵 和 ，若存在可逆的 阶矩阵 ，使得则称 与 合同，记为 。 容易证明，矩阵间的合同关系满足如下性质： 1)反身性： 2)对
3、称性：若 ，则 ； 3)传递性：若 ， ，则 。 另外还有 4）若 ，则r（ ）r（ ）； 5)与对称矩阵合同的矩阵必为对称矩阵。 一、配方法的具体步骤下面介绍一种行之有效的方法拉格朗日配方法下面介绍化二次型为标准型的方法。解例1含有平方项去掉配方后多出来的项所用变换矩阵为解例2由于所给二次型中无平方项，所以再配方，得拉格朗日配方法的步骤2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.注意:
4、配方的方法不同,一般所得标准形也不同。因而标准形不唯一。那么，是否任意一二次型都可以由可逆线性替换化为标准形呢？有以下定理成立定理6.2.1 数域F上任意一个二次型都可以经过F上的非退化线性替换化为标准形 二 、正交变换法由定理5.3.4知道，对任意一个 阶实对称矩阵 ,一定存在正交矩阵 ,使得因此,对任意实二次型 ,有如下结论定理6.2.3 （主轴定理） 对于任意一个 元实二次型一定存在正交变换 ( 为 阶正交矩阵)使得其中 是实对称矩阵 的全部特征值 例6.2.6 用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换。 解 1.写出二次型 对应的矩阵 ,求出全部互异特征值.于是由此可求得2.
5、对每个特征值 ,求方程组 的一组基础解系,并将之 Schmidt正交化,单位化。对于 ,方程组为 ，即求得其一组基础解系：下面对 先Schmidt正交化,再单位化：令对于 ,方程组为 ,即求得一组基础解系: .将之单位化得3.由 作正交阵 ,即取 于是有于是,二次型 经正交其中变换 化为标准形,即例6.2.7 将二次曲面方程化为标准方程（只含平方项、常数项的方程） 化为标准形。由解 1.用正交变换法将 中的二次型 部分，即设 A 是此二次型 对应的矩阵，于是将它们单位化，并作列构造正交矩阵由方程组分别求得 和 对应的特征向量：由上式求得 的特征值为同时,将曲面方程化为使得 。于是作正交变换 ，
6、其中 就将二次型 化为标准形2. 将上式配方，得令得二次曲面标准方程所用的坐标变换包括正交变换和平移变换（6.2.25)，两者合起来就是由上例知，中心在原点的二次曲面（方程不含一次项）的方程总可以由正交变换化为标准方程；中心不在原点的二次曲面（方程含一次项）的方程总可以由一个正交变换和一个平移变换化为标准方程。四、小结将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大
7、；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单思考题需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩思考题解答6.3 惯性定理和二次型的规范形问题1. 一个二次型的不同标准形之间有什么类似之 处？2. 上一节例子中的标准形都是两个正项一个 负项，是偶然还是必然？由定理6.2.1可知，数域上任意一个二次型于是有都可经逆线性替换 化为标准形由合同的性质可知，矩阵 的秩就等于对角阵 的秩，也等于其非零对角元的个数，即二次型的标准形中非零平方项的个数。因此有定理6.3.1 秩为 的二次型 都可经可逆线性替换化为标准形其中 。 一
8、. 复二次型设 是秩r 为的复二次型,则由定理6.3.1知道,它可经过适当的可逆复线性替换化为标准形其中 为非零复数。由于复数可以开平方，因而可再对上式作可逆复线性替换得定理6.3.2 任意一个复二次型总可以经过一个适当的可逆复线性替换化为规范形，且规范形是唯一的。 称 式为复二次型 的规范形。它由二次型的秩r唯一确定，因而有定理 6.3.3对任意一个秩为r的n阶复对称矩阵A，必存在可逆复矩阵C,使得推论 设A、B均为n阶复对称矩阵，则A与B在复数域上合同的充分必要条件是 用矩阵的语言描述，则有二. 实二次型设 是秩为 的实二次型,由定理6.3.1知道,它的标准形经适当排列得其中 , 为二次型
9、的秩。在实数域上正数总可以开平方，因此可对 上式作可逆实线性替换定理6.3.4 (惯性定理) 任意一个实二次型 ，总可以经过一个适当的可逆实线性替换化为规范形，且规范形是唯一的。 称此式为实二次型 的规范形，它由 和 完全确定。关于实二次型的规范形有如下结论：若用矩阵的语言来描述，则惯性定理成为定理6.3.5 对任意一个秩为r的是对称矩阵A， 一定存在可逆矩阵 使得 其中p由A唯一确定。 负平方项的个数 r-p 称为负惯性指数，它们的差 称为符号差。 推论 任意两个n阶实对称矩阵在实数域上合同的充要条件是，它们有相同的秩和正惯性指数。 定义6.3.1 在秩为r的实二次型的标准形或规范形中，正平
10、方项的个数p称为正惯性指数， 三. 小结本节开始提出的问题已很清楚。同一个二次型的标准形不唯一,但其规范形是唯一的。全体 阶实对称矩阵按合同分类,共有 类。6.4 实二次型的定性定义6.4.1 设实二次型 若对任意非零实向量 ,恒有 （1） ，则称f是正定的，称A是正定矩阵； （2） ，且至少存在一个非零的实向量 ,使得 ，则称f是半正定的，称A为半正定矩阵； ( 3） ，则称f是负定的，称A为负定矩阵； （4） ，且至少存在一个非零的 实向量 ,使得 ，则称f是半负定的，称A为半负定矩阵。 若二次型 的值既可为正,又可为负,则称 是不定的。例如，二次型是正定的;二次型是半正定的；二次型是负定
11、的；二次型是半负定的；二次型判定二次型的定性定理6.4.1 可逆的实线性替换不改变实二次型的定性。 是不定的。关于二次型的正定判定有如下重要结果定理6.4.2 设n元实二次型 则下列命题等价： （1） 是正定二次型（A是正定矩阵） (3)存在可逆的实矩阵B,使得 ； （2） 的正惯性指数为n; （4）A的n个特征值全部大于零 。 推论1 二次型 正定的充要条件是它的规范形为推论2 正定矩阵的行列式大于0。 由定理6.4.2易得如下结果定理6.4.3 若A是正定矩阵，则 (1) kA为正定矩阵，其中k为任意正实数； (2) 为正定矩阵; （3） 为正定矩阵，其中m为任意正整数; （4）A的伴随矩
12、阵 为正定矩阵； （5） 为正定矩阵，其中C为任意可逆实矩阵。 下面举例说明。例6.4.1 证明：如果 是正定矩阵，那么 也是正定矩阵。证 证法一 由定理6.4.3,若 是正定矩阵，则 也是正定矩阵。命题得证。证法二 由 是正定矩阵知， 上式两端取逆，有 , 即 是实对称矩阵。于是对任意非零的 ,必有 , （否则, ,矛盾。），于是由 的正定性，必有从而二次型 正定， 是正定矩阵。证法三 已知 是正定矩阵，同时有将上式两端取逆，得其中 是可逆的实矩阵。于是由定理6.4.3, 是正定矩阵。证法四 已知 正定，同方法二可证得 为实对称矩阵。又存在可逆的实矩阵 ，使得令 ，则 为可逆的实矩阵，上式成为于是由定理6.
