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1、第一章非惯性中的质点动力学 11 非惯性系中质点动力学的基本方程 其中 为质点的牵连加速度 为质点的科氏加速度将上式代入前式得或 （11）令 得 （12）上式称为非惯性系中的质点动力学基本方程 或称为质点相对运动力学基本方程其中 称为牵连惯性力称为科氏惯性力在动参考系内式（12）可写成微分方程形式（13）其中 表示质点M在动参考系中的矢径是 对时间t的二阶相对导数式（13）称为非惯性系中的质点运动微分方程或称为质点相对运动微分方程几种特殊情况 （1）动参考系相对于定参考系作平移因所以相对运动力学基本方程为（2）动参考系相对于定参考系作匀速直线平移因 和 所以得所有相对于惯性参考系作匀速直线平移
2、的参考系 都是惯性参考系 发生在惯性参考系中的任何力学现象 都无助于发觉该参考系本身的运动情况 以上称为相对性原理（3）质点相对于动参考系静止 即因此有所以上式称为质点相对静止的平衡方程即当质点在非惯性参考系中保持相对静止时作用在质点上的力与质点的牵连惯性力相互平衡（4）质点相对于动参考系作等速直线运动有所以上式称为质点相对平衡方程例 11 如图所示单摆 摆长为l小球质量为m求此时单摆作微振动的周期其悬挂点O以加速度 向上运动解： 小球相对于此动参考系的运动分析小球受力：因动参考系作平移 所以在悬挂点O上固结一平移参考系相当于悬挂点固定的单摆振动重力绳子张力牵连所以科氏惯性力将上式投影到轨迹的
3、切向轴t上 得当摆作微振动时角很小 有且 上式成为令则上式可写成自由振动微分方程的标准形式其解的形式为而振动周期为例 12 一直杆OA 长l=0.5m 可绕过端点O的 轴在水平面内作匀速转动 如图所示 其转动角速度 在杆OA上有一质量为m=0.1kg的套筒B 设开始运动时 套筒在杆的中点处于相对静止 忽略摩擦 求套筒运动到端点A所需的时间及此时对杆的水平压力解： 研究套筒B相对于OA的运动 选取和杆OA一起转动的坐标系 为动参考系 重力铅直约束力水平约束力牵连惯性力只有径向分量科氏惯性力 建立相对运动微分方程将上式投影到 轴上得令上式消去m为（a）注意上式分离变量并积分即得或 （b）上式再分离
4、变量并积分即求得套筒到达点A的时间t为将 代入上式解出t=0.2096s将式（a）投影到 轴上得（c） 当套筒到达端点A时由式（b）可得代入式（c）得又对于惯性参考系套筒运动的基本方程为（d）其中绝对加速度注意到均沿OA方向而 与 方向相反 则式（d）沿 轴的投影式与式（c）相同显然应得到同样的水平约束力 由于 与 等值而反向 水平约束力 就是使套筒得到绝对加速度 的力例 13铅直上抛一质量为m的质点M 由于地球自转的影响 求质点M回到地表面的落点与上抛点的偏离在地球表面北纬角 处 以初速度解： 以上抛点为坐标原点 选取固定于地球的非惯性参考系为 其中 轴铅直向上 近似通过地球中心 轴水平向东
5、 轴水平向北 表现重力 其中 为地球引力科氏惯力 其中 为地球自转角速度矢量为相对速度 可写为而 为 轴向单位矢量的矢量积可展开为（a）列出质点相对于地球的运动微分方程沿 轴向下在地表面附近为常值消去质量m 引用式（a） 上式沿 轴的投影式为（b）对此微分方程组可以采用逐次的方法求解 由于地球自转角速度很小最初级的近似计算中 可取=0则式（b）的零次近似方程为 （c） 运动初始条件为t0时（d）在此条件下式（c）积分一次 得质点零次近似的速度为（e）将上式代入式（b）得一次近似的微分方程 （f）在式（d）的初始条件下上式积分一次 得一次近似的速度 （g）再积分一次得一次近似的上抛质点运动方程（
6、h）当质点M回落到原上抛点高度时 代入上式 可得质点经历的时间为将此t值代入式（h）的第一式得为负值 表明上抛质点落地时 其落点偏西 如将式（g）代入式（b） 可得二次近似的质点运动微分方程 在式（d）的初始条件下 再积分 可得二次近似的质点速度及运动方程（读者可自作） 如果质点在高h处无初速度自由落下 其相对运动微分方程仍为式（b） 注意此时 其零次近似的速度式（e）改为以始落点为原点 共一次近似的质点运动方程式（h）改为（i）当落下高度h时经历时间为以此t值代入（i）的第一式得 方向偏移此时 为正值偏移向东 这就是地球上的落体偏东现象 12 非惯性系中质点的动能定理 质点的相对运动动力学基
7、本方程为式中是 对时间t的相对导数上式两端点乘相对位移则有注意到且科氏惯性力 垂直于相对速度有上式成为若以 和 表示力 和牵连惯性力 在质点的相对位移上的元功 则有 （14）质点相对运动动能定理的微分形式： 质点在非惯性系中相对动能的增量 等于作用于质点上的力与牵连惯性力 在相对运动中所作的无功之和积分上式得（15）质点在非惯性参考系中相对动能的变化等于作用在质点上的力与牵连惯性力在相对路程上所作的功之和这一规律称为质点相对运动动能定理的积分形式例 14一平板与水平面成角 如图所示 若不计摩擦等阻力若平板又以这个加速度的两倍向右平移时板上有一质量为m的小球问平板以多大加速度向右平移时 小球能保
8、持相对静止小球应沿板向上运动 问小球沿板走了l距离后 小球的相对速度是多少解： （1）在平板上固结一动参考系重力平板的约束力 牵连惯性力 方向如图 小球相对静止 方程为从中解出得（2）当加速度 时牵连惯性力应用相对运动动能定理 有整理后得解得例 15半径为R的环形管 如图所示 管内有一质量为m的小球忽略管壁摩擦绕铅垂轴z以匀角速度转动原在最低处平衡 小球受微小扰动时可能会沿圆管上升求小球能达到的最大偏角解：以环形管为动参考系经过微小角度 时此惯性力作功为相对运动的动能定理得因上式成为或解出其中一解为对应于小球在最低处的情况即另一解为得可以看出 上述结果只在 时才有意义 此时有而当 时小球不会沿圆管上升而在最低处才是稳定的
