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1、第十章 统计回归模型10.1 牙膏的销售量10.2 软件开发人员的薪金10.3 酶促反应10.4 投资额与国民生产总值和 物价指数回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型数学建模的基本方法机理分析测试分析通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型 不涉及回归分析的数学原理和方法 通过实例讨论如何选择不同类型的模型 对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进 由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制,无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规 律的数学模型。 10.1 牙膏的销售量 问 题建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量 收集了3
2、0个销售周期本公司牙膏销售量、价格、广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价 9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851销售量 (百万支)价格差 （元）广告费用 (百万元)其它厂家 价格(元)本公司价 格(元)销售 周期基本模型 y 公司牙膏销售量 x1其它厂家与本公司价格差 x2公司广告费用x2yx1yx1, x2解释变量(回归变量, 自变量 ) y被解释变量（因变量） 0, 1 , 2 , 3 回归系数 随机误差（均值为零的正态分布随机变量）MATLAB 统
3、计工具箱 模型求解b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha ) 输入 x= n4数据矩阵, 第1列为全1向量alpha(置信水平 ,0.05) b的估计值 bintb的置信区间 r 残差向量y-xb rintr的置信区间 Stats检验统计量R2,F, p yn维数据向量输出 由数据 y,x1,x2估计参数参数估计值置信区间 17.32445.7282 28.9206 1.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p=0.00000 1 2 3
4、结果分析y的90.54%可由模型确定 参数参数估计值置信区间 17.32445.7282 28.9206 1.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p=0.00000 1 2 3F远超过F检验的临界值 p远小于=0.05 2的置信区间包含零点 (右端点距零点很近) x2对因变量y 的影响不太显著x22项显著 可将x2保留在模型中 模型从整体上看成立销售量预测 价格差x1=其它厂家价格x3-本公司价格x4估计x3调整x4控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=650万元销售
5、量预测区间为 7.8230，8.7636（置信度95%）上限用作库存管理的目标值 下限用来把握公司的现金流 若估计x3=3.9，设定x4=3.7，则可以95%的把握知 道销售额在 7.83203.7 29（百万元）以上控制x1通过x1, x2预测y(百万支)模型改进x1和x2对y 的影响独立 参数参数估计值置信区间 17.32445.7282 28.9206 1.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p=0.00000 1 2 3参数参数估计值置信区间 29.113313.
6、7013 44.5252 11.13421.9778 20.2906 -7.6080-12.6932 -2.5228 0.67120.2538 1.0887 -1.4777-2.8518 -0.1037 R2=0.9209 F=72.7771 p=0.000030 1 24x1和x2对y 的影响有 交互作用两模型销售量预测比较(百万支)区间 7.8230，8.7636区间 7.8953， 8.7592 (百万支)控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元预测区间长度更短 略有增加 x2=6.5x1=0.2 x1x1x2x2两模型 与x1,x2关系的比较交互作用影响的讨论价格差 x1
7、=0.1 价格差 x1=0.3加大广告投入使销售量增加 （ x2大于6百万元）价格差较小时增加 的速率更大 x2价格优势会使销售量增加 价格差较小时更需要靠广告 来吸引顾客的眼球 完全二次多项式模型 MATLAB中有命令rstool直接求解x1x2从输出 Export 可得10.2 软件开发人员的薪金资历 从事专业工作的年数；管理 1=管理人员，0=非管理人员；教育 1=中学，2=大学，3=更高程度建立模型研究薪金与资历、管理责任、教育程度的关系分析人事策略的合理性，作为新聘用人员薪金的参考 编 号薪金资 历管 理教 育 0113876111 0211608103 0318701113 041
8、1283102 编 号薪金资 历管 理教 育 42278371612 43188381602 44174831601 45192071702 4619346200146名软件开发人员的档案资料 分析与假设 y 薪金，x1 资历（年）x2 = 1 管理人员，x2 = 0 非管理人员1=中学 2=大学 3=更高资历每加一年薪金的增长是常数；管理、教育、资历之间无交互作用 教 育线性回归模型 a0, a1, , a4是待估计的回归系数，是随机误差 中学：x3=1, x4=0 ； 大学：x3=0, x4=1； 更高：x3=0, x4=0 模型求解参数参数估计值置信区间 a011032 10258 11
9、807 a1546 484 608 a26883 6248 7517 a3-2994 -3826 -2162 a4148 -636 931 R2=0.957 F=226 p=0.000R2,F, p 模型整体上可用资历增加1年薪 金增长546 管理人员薪金多 6883 中学程度薪金比更 高的少2994 大学程度薪金比更 高的多148 a4置信区间包含零点 ，解释不可靠!中学：x3=1, x4=0;大 学：x3=0, x4=1; 更高 ：x3=0, x4=0. x2 = 1 管理，x2 = 0 非管理x1资历(年)残差分析方法 结果分析残差e 与资历x1的关系 e与管理教育组合的关系 残差全为正
10、，或全为负，管 理教育组合处理不当 残差大概分成3个水平， 6种管理教育组合混在 一起，未正确反映 。应在模型中增加管理x2与教育 x3, x4的交互项 组合123456 管理010101 教育112233管理与教育的组合进一步的模型增加管理x2与教育x3, x4的交互项参数参数估计值置信区间 a01120411044 11363 a1497486 508 a270486841 7255 a3-1727-1939 -1514 a4-348-545 152 a5-3071-3372 -2769 a618361571 2101 R2=0.999 F=554 p=0.000R2,F有改进，所有回归系
11、数置信 区间都不含零点，模型完全可用 消除了不正常现象 异常数据(33号)应去掉 e x1 e 组合去掉异常数据后的结果参数参数估计值置信区间 a01120011139 11261 a1498494 503 a270416962 7120 a3-1737-1818 -1656 a4-356-431 281 a5-3056-3171 2942 a619971894 2100 R2= 0.9998 F=36701 p=0.0000e x1 e 组合R2： 0.957 0.999 0.9998 F： 226 554 36701 置信区间长度更短残差图十分正常最终模型的结果可以应用模型应用 制订6种管
12、理教育组合人员的“基础”薪金(资历为0 ）组合管理教育系数“基础”薪金 101a0+a39463 211a0+a2+a3+a513448 302a0+a410844 412a0+a2+a4+a619882 503a011200 613a0+a218241中学：x3=1, x4=0 ；大学：x3=0, x4=1； 更高：x3=0, x4=0 x1= 0； x2 = 1 管理，x2 = 0 非管理大学程度管理人员比更高程度管理人员的薪金高 大学程度非管理人员比更高程度非管理人员的薪金略低 对定性因素(如管理、教育)，可以引入0-1变量处理 ，0-1变量的个数应比定性因素的水平少1 软件开发人员的薪
13、金残差分析方法可以发现模型的缺陷，引入交互作用项 常常能够改善模型 剔除异常数据，有助于得到更好的结果注：可以直接对6种管理教育组合引入5个0-1变量 10.3 酶促反应 问 题研究酶促反应（酶催化反应）中嘌呤霉素对反 应速度与底物（反应物）浓度之间关系的影响 建立数学模型，反映该酶促反应的速度与底 物浓度以及经嘌呤霉素处理与否之间的关系 设计了两个实验 ：酶经过嘌呤霉素处理；酶未 经嘌呤霉素处理。实验数据见下表: 方 案底物浓浓度(ppm)0.020.060.110.220.561.10反应应 速度处处理764797107123 139 159 152 191 201 207 200未处处理
14、6751848698115 131 124 144 158 160/基本模型 Michaelis-Menten模型y 酶促反应的速度, x 底物浓度 1 , 2 待定系数 底物浓度较小时，反应速度大致与浓度成正比； 底物浓度很大、渐进饱和时，反应速度趋于固定值。酶促反应的基本性质 xy01实验 数据经嘌呤霉 素处理xy未经嘌呤 霉素处理 xy线性化模型 经嘌呤霉素处理后实验数据的估计结果 参数参数估计值计值 （10-3）置信区间间（10-3）15.1073.539 6.67620.2470.176 0.319R2=0.8557 F=59.2975 p=0.0000对1 , 2非线性 对1, 2
15、线性 线性化模型结果分析 x较大时，y有较大偏差 1/x较小时有很好的 线性趋势，1/x较大 时出现很大的起落 参数估计时，x较小 （1/x很大）的数据控 制了回归参数的确定 1/y1/xxybeta,R,J = nlinfit (x,y,model,beta0) beta的置信区间MATLAB 统计工具箱 输入 x自变变量数据矩阵y 因变量数据向量beta 参数的估计值 R 残差，J 估计预 测误差的Jacobi矩阵 model 模型的函数M文件名beta0 给定的参数初值 输出 betaci =nlparci(beta,R,J) 非线性模型参数估计function y=f1(beta, x) y=beta(1)*x./(beta(2)+x);x= ; y= ;beta0=195.8027
