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1、第三章 连续系统的时域分 析 许多实际系统可以用线性系统来模拟。 若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。研究对象：线性时不变（LTI）连续系统数学模型：常系数线性微分方程研究方法：从系统的数学模型（微分方程）出发， 在时域中研究输入信号通过系统后响应的变化规律。 这种方法是研究系统时域特性的重要方法，称为时 域分析法。3.1线性时不变系统描述及其 响应根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。 元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元 件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系等等。 网络拓
2、扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。一、系统微分方程模型的建立3.1.1 系统的微分方程例电感电阻电容根据KCL及KVL代入上面元件伏安关系，并化简有 这是一个代表RCL串并联电路系统的二阶微分方程。 求并联电路的端电压 与激励 间的关系。 LLiC( )tisRab+-一个线性系统，其激励信号 与响应信号 之间 的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述若系统为时不变的，则a，b均为常数，此方程为常 系数的n阶线性常微分方程。推广：齐次解：由特征方程求出特征根写出齐次解形式注意重根情况处理方法。特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式代入原方程，比较
3、系数定出特解。初始条件的确定在零输入、零状态响应时再进行讲解全 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 。二求解系统微分方程的经 典法求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。 例齐次解：系统的特征方程为特征根因而对应的齐次解为如果已知： 求此方程的完全解。给定微分方程式这里，B是待定系数。代入方程后有：(2)不同特征根所对应的齐次解特征根齐次解不同激励函数所对应的特解激励函数f(t)特解3.1.2 零输入响应与零状态 响应 零输入响应（Zero-Input Response，简 记为ZIR） 零状态响应（Zero-State Response，简 记为ZSR） 全解=零输入响应+零状态响应即：
4、零输入响应（ZIR） 从观察的初始时刻（例如t=0 ）起不再施 加输入信号（即零输入），仅由该时刻 系统本身具有的起始状态引起的响应。 起始状态：反映一个系统在初始观测时 刻（如t=0）的能量状态。 例如： 初始条件： 以及它们的各 阶导数，又称为初始值。起始点的跳变当系统用微分方程表示时，系统从 到 状态有 没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及 其各阶导数项。 说明一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的 电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：对于一个具体的电网络，系统的 状态就是系统中 储能元件的储能情况;但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫 作用于电感，
5、 状态就会发生跳变。 零状态响应 当电路中储能状态为零时，由外加激励 信号产生的响应（电压或电流）称为零 状态响应。ZIR与ZSR的求解方法 经典法 一阶系统现在要求它的ZIR 即 的解。 其特征方程为：特征根若零输入响应的初始值 已知，则ZIR 应该为求二阶ZIR二阶系统其特征方程为：可解得特征根为：则：式中系数 由初始值 确定。求 ZS R其零状态响应为：一阶系统若令：则：其中 称为一阶系统的特征函数。若要求系统的零状态响应，则该响应对应非齐 次微分方程的解。求ZSR例如二阶系统：其零状态响应可表示为：式中系数 由初始值 确定。例3-2(书P47)解：（1）求ZIR令上式 ，有齐次方程：特
6、征根为：故ZIR的形式为：注意：为求系数 ，必须由起始状态导出初始 值。所以：在式（2-10）及其导数的关系式中令 并 代入以上值得：解得所以：（2）求ZSR当 系统得零状态响应是方程的解， 该解由两部分组成，即齐次解形式为：特解的形式应为常量，令代入原方程，得：故ZSR可写为： 注意：此时的系数 应该在 的条件下导出的 初始值 决定。由题意可得且在式（2-11）及其导数的关系式中令 并代入以上值，得：解得：从而得ZSR为系统的全响应为零输入响应和零状态响应的叠 加，即 零输入响应：起始状态 零状态响应：外加激励 自由响应：由系统特征根决定 强迫响应：取决于外加激励得形式 瞬态响应：最终趋于零
7、的分量 稳态响应：最终不等于零的分量一阶 跃响应系统的输入 ，其响应为 。系统 方程的右端将包含阶跃函数 ，所以除了齐次解外， 还有特解项。我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与 阶跃响应关系求阶跃响应。 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单 位阶跃响应，简称阶跃响应。3.2 阶跃响应与冲激响应求阶跃响应（例3-3）微分方程模型：由（3-11）（3-12）得系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应， 称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。 二冲激响应例34 一阶系统的冲激响应列系统微分方程：求下图RC电路的冲激响应。（条件： ）冲激 在 时转为系统的储能（由
8、体现）， t 0时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统 的冲激响应。 齐次方程特征方程特征根求解下面的问题是确定系数A：用冲激函数匹配法求出 ，定系数A。方法1：方法2：利用P44公式312。求 定系数A据方程可设代入方程得得出所以波形电容器的电流在 t =0时有一冲激， 这就是电容电压突 变的原因 。注意！三阶跃响应与冲激响应的关系线性时不变系统满足微、积分特性总结冲激响应的求解至关重要。冲激响应的定义零状态；单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况 下加同样的激励 ，看响应 ， 不同，说明其 系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。用
9、变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应简捷 方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。3.3 卷积（Convolution）及其应 用举例说明：2. 卷积的基本性质(1)交换律(2)结合律(3)分配律1、卷积代数律证明交换律卷积结果与交换两函数的次序无关。因为倒置 与倒置 积分面积与t无关。2 微分性质 若则有：应用：由于则有：3 积分性质若则 应用：因为所以： 即：4 延时性质若 则根据系统的时不变性质，有补充：与冲激函数或阶跃函数的 卷积推广：3.3.2 系统的卷积分析法 问题的提出对于一般的LTI系统，若任意输入信号 已知，且冲激响应 已知，如何求取系统 的ZSR？ 方法：卷积方法！分
10、析：假设有起始状态为零的LTI系统。输入（激励） 输出（响应） 同理可知： 当已知阶跃响应 后，3.3.3 卷积的计算方法由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限 性，卷积的积分限会有所变化。卷积积分中积 分限的确定是非常关键的。1.直接利用定义公式关键：积分限的确定 一般利用单位阶跃函数 来确定积分限假使 均为 时加入的因果信号。则：积分限下限取0的原因：积分限上限取t的原因：例 ： 例：若给定信号 起始于 ，冲激响应 起始于 ，即：则二者的卷积可表示为：理由：考虑到： 当当由时不变特性，响应必然起始于故卷积结果后应乘以冲激信号的卷积任意信号 与冲激信号 卷积的结果 仍为 本身。即：则：2.
11、卷积的图解说明（图形扫描法 ）用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求 出定积分限尤为方便准确，用解析式作容易出错，最好将 两种方法结合起来。 3.4 特征函数及其应用问题的提出：对于二阶及高阶系统，当已知系统的微 分方程后，如何直接利用卷积方法求取系 统的零状态响应和冲激响应解决方法：应用特征函数1.一阶系统（P44页）其零状态响应为：若令：则：其中 称为一阶系统的特征函数。2.二阶系统不作推导得到以下结论：假设系统的特征根 为 则：称为二阶系统的特征函数。 则二阶系统的零状态响应可表示为：冲激响应为：其中：（3）n阶LTI系统不作推导得到以下结论：假设系统的特征根为：则系统的ZSR为式中称为n阶系统的特征函数。冲激响应为： 例2-9 设有二阶系统的微分方程为：求输入信号 的零状态响应。解：由系统对应的特征方程：得特征根将 代入原方程，有：由此可得：故零状态响应为：经典法：双零法卷积积分法：求零状态响应内容摘要求 解 系 统 响 应定初始条件满足换路定则起始点有跳变：求跳变量零输入响应：用经典法求解 零状态响应：卷积积分法求解习题课 例1：试求下图电路的冲激响应 ，其中解：由电路可得系统微分方程为：代入已知数据，可得：由于 ，所以冲激响应为：例2：试证明卷积的时移性质。即若：则有：式中a和b均为常数。 证明：由卷积的定义：令再令
