《【高中数学课件】导数的背景 曲线在某点处的切线、瞬时速度》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【高中数学课件】导数的背景 曲线在某点处的切线、瞬时速度（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、引入: 一、切线问题：（1）对于简单的曲线，如圆和圆锥曲线，它们的 切线是如何定义的？（2）与曲线只有一个交点的直线是否一定是曲线 的切线？（3）曲线的切线与直线是否只有一个交点？二、最值问题：求函数y=x3-2x-1，x-1，1的最大值和最小值。天马行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：175569632第三章 导数3.1.1曲线的切线天马行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：175569632一.曲线的切线y=f(x )PQMxyOxyPy=f(x )QMxyOxy如图，曲线C是函数y=f(x)的图象，P(x0,y0)是 曲线C上的任
2、意一点，Q(x0+x,y0+y)为P邻近 一点，PQ为C的割线，PM/x轴,QM/y轴， 为PQ的倾斜角.PQoxyy=f(x)割 线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时，割线PQ 绕着点P逐渐转动的情况.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P,即x0时 ,若割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲 线在点P处的切线.设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一 种方法;切线斜率的本质函数平均变化率的极限. 注：（1）切线是割线的极限位置，切线的斜率是一个 极限（2）若割线在P点有极限位置，则在此点有
3、切线, 且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;（3）曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可 以有多个,甚至可以无穷多个.（3）曲线的切线与曲线是否只有一个交点吗？例1: 求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2) 处的切线的斜率、切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx求曲线上一点的切线的斜率一般可以分为三步 ： （1）求y；求曲线在某点处的切线方程：先利用切线的斜率， 然后利用点斜式求切线方程.练习:如图,已知曲线 , 求:(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.yx-2-112-2-11234OP即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y
4、-8/3=4(x-2),即12x-3y- 16=0.一般地，设物体的运动规律是ss(t)，则物 体在t到t+t这段时间内的平均速度为二、瞬时速度 ：平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地 描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的 快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.物体在时刻t的瞬时速度，就是物体在t到t+t这 段时间内，当t0时的平均速度的极限；例3: 物体作自由落体运动,运动方程为： g=10m/s2 ，位移单位是m，时间单位是s，.求：(1) 物体在时间区间2,2.1上的平均速度；(2) 物体在时间区间2,2.01上的平均速度；(3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.解
5、:(1)将 t=0.1代入上式，得: (2)将 t=0.01代入上式，得: 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s). 当时间间隔t 逐渐变小时,平均速度就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).练习: 某质点沿直线运动,运动规律是 s=5t2+6，求t=1时刻的瞬时速度.求瞬时速度一般可以分为三步：（1）求s；（1）能从极限的角度理解曲线在点P处切线 的定义；小结：能求曲线在点P处切线的斜率及方程；（2）能从极限的角度理解某时刻的瞬时速度能求某时刻的瞬时速度备用:已知曲线 上一点P(1,2),用斜率的定义求过点P的切线的倾斜角和切线方程.故过点P的切线方程为:y-2=1(x-1),即y=x+1.练习:求曲线 上一点P(1,-1)处的切线方程.答案:y=3x-4.
