《江苏省南师大附校2010高三数学一轮复习教学案：第2课时导数的应用--单调性与极值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省南师大附校2010高三数学一轮复习教学案：第2课时导数的应用--单调性与极值（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、南京师范大学附属实验学校 2010 届高三一轮复习 理科数学教学案 导数 第第 2 课时课时 导数的应用导数的应用单调性与极值单调性与极值【复习目标】1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。 3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数 的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过 三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、 最小值；体会导数方法在研究函数性质中
2、的一般性和有效性。 【重点难点】 利用导数求函数的极值；利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值； 利用导数证明函数的单调性；数在实际中的应用；导数与函数、不等式等知识相融合 的问题；导数与解析几何相综合的问题。 【高考要求】B 级 【基础过关】 1 1 函数的单调性 函数 y)(xf在某个区间内可导，若)(xf 0，则)(xf为 ；若)(xf 0，则)(xf为 .（逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有0)( xf，则)(xf . 注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： 确定函数)(xf的 ； 求)(xf ，令 ，解
3、此方程，求出它在定义区间内的一切实根； 把函数)(xf的间断点（即)(xf的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺 序排列起来，然后用这些点把函数)(xf的定义区间分成若干个小区间； 确定)(xf 在各小开区间内的 ，根据)(xf 的符号判定函数)(xf在各个相应小开 区间内的增减性. 2 2可导函数的极值 极值的概念设函数)(xf在点0x附近有定义，且对0x附近的所有点都有 （或 ） ，则称)(0xf为函数的一个极大（小）值称0x为极大（小）值点. 求可导函数极值的步骤： 求导数)(xf ； 求方程)(xf 0 的 ； 检验)(xf 在方程)(xf 0 的根左右的符号，如果在根的左
4、侧附近为正，右侧附近为负， 那么函数 y)(xf在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么 函数 y)(xf在这个根处取得 . 3 3函数的最大值与最小值： 设 y)(xf是定义在区间a ,b 上的函数，y)(xf在(a ,b )内有导数，则函数 y南京师范大学附属实验学校 2010 届高三一轮复习 理科数学教学案 导数 )(xf在a ,b 上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值 (2) 求最值可分两步进行： 求 y)(xf在(a ,b )内的 值； 将 y)(xf的各 值与)(af、)(bf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个 为最小值. (3) 若函数 y)
5、(xf在a ,b 上单调递增，则)(af为函数的 ，)(bf为函数的 ；若函数 y)(xf在a ,b 上单调递减，则)(af为函数的 ，)(bf为函数的 .【典型例题】 例例 1.1. 已知 f(x)=ex-ax-1. （1）求 f(x)的单调增区间； （2）若 f(x）在定义域 R R 内单调递增，求 a 的取值范围； （3）是否存在 a,使 f(x)在（-，0上单调递减，在0，+）上单调递增？若存在， 求出 a 的值；若不存在，说明理由. 解：解：)(xf =ex-a. （1）若 a0，)(xf =ex-a0 恒成立，即 f(x)在 R R 上递增. 若 a0,ex-a0,exa,xlna
6、.f(x)的单调递增区间为(lna,+). （2）f（x）在 R R 内单调递增，)(xf 0 在 R R 上恒成立. ex-a0，即 aex在 R R 上恒成立. a（ex）min，又ex0，a0. （3）方法一方法一 由题意知 ex-a0 在（-，0上恒成立. aex在（-，0上恒成立.ex在（-，0上为增函数. x=0 时，ex最大为 1.a1.同理可知 ex-a0 在0，+）上恒成立. aex在0，+）上恒成立.a1，a=1. 方法二方法二 由题意知，x=0 为 f(x)的极小值点.)0( f=0,即 e0-a=0,a=1. 变式训练变式训练 1.1. 已知函数 f(x)=x3-ax-
7、1. （1）若 f(x)在实数集 R R 上单调递增，求实数 a 的取值范围； （2）是否存在实数 a,使 f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出 a 的取值范围；若不 存在，说明理由； （3）证明：f(x)=x3-ax-1 的图象不可能总在直线 y=a 的上方. （1）解解 由已知)(xf =3x2-a,f(x)在（-,+）上是单调增函数， )(xf =3x2-a0 在（-,+）上恒成立，即 a3x2对 xR R 恒成立. 3x20,只需 a0,又 a=0 时，)(xf =3x20, 故 f(x)=x3-1 在 R R 上是增函数，则 a0. （2）解解 由)(xf =3x2-a0
8、在(-1,1)上恒成立，得 a3x2,x(-1,1)恒成立. -10,即 e-ax(-ax2+2x)0,得 02 时,f(x）在（1，2）上是减函数, f（x）max=f（1）=e-a. 当 1a22,即 1a2 时， f(x)在 a2, 1上是增函数，在 2 ,2 a上是减函数， f(x)max=f a2=4a-2e-2. 当a22 时，即 02 时，f(x)的最大值为 e-a. 变式训练变式训练 3.3. 设函数 f(x)=-x(x-a)2(xR R),其中 aR R. （1）当 a=1 时，求曲线 y=f(x)在点（2，f(2)处的切线方程； （2）当 a0 时，求函数 f(x)的极大值
9、和极小值. 解解：（1）当 a=1 时，f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x, f(2)=-2,)(xf =-3x2+4x-1, )2(f-12+8-1=-5, 当 a=1 时，曲线 y=f(x)在点（2,f(2)处的切线方程为 5x+y-8=0. （2）f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x, )(xf =-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a), 令)(xf =0,解得 x=3a或 x=a. 由于 a0，以下分两种情况讨论. 若 a0，当 x 变化时，)(xf 的正负如下表： x(-,3a)3a(3a,a)a(a,+)(xf -0+0-f(x)3 274a0
10、因此，函数 f(x)在 x=3a处取得极小值 f（3a） ， 且 f（3a）=-;2743a 函数 f(x)在 x=a 处取得极大值 f(a),且 f(a)=0. 若 a0,)(xP=0 时,x=12， 当 00,当 x12 时，)(xP0()( xf0 是 f（x）在（a，b）内单调递增的_ _条件.f 5. 函数 y=xsinx+cosx 在下面哪个区间内是增函数 南京师范大学附属实验学校 2010 届高三一轮复习 理科数学教学案 导数 A.（,） B.（,2） C.（, ） D.（2,3）2 23 23 256.已知 a0，函数 f（x）=x3ax 在1，+）上是单调增函数，则 a 的最
11、大值是 7. 已知函数 f（x）=x44x3+10x2，则方程 f（x）=0 在区间1，2上的根有 8. 若函数y=x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是_.349函数 f（x）x2cosx 在区间上的最大值为_;在区间0，2上最大值为 2, 0_ 10已知，奇函数在上单调，则字母应满足xR32( )f xxaxbxc1,), ,a b c的条件是 。11.设 f（x）=x32x+5.22x（1）求 f（x）的单调区间； （2）当 x1，2时，f（x）m 恒成立，求实数 m 的取值范围.12设 f（x）=x33ax2+2bx 在 x=1 处有极小值1，试求 a、b 的值， 并求出 f（x）
12、的单调区间.13已知函数 f（x）=ax3+3x2x+1 在 R 上是减函数，求实数 a 的取值范围.14若函数 y=x3ax2+（a1）x+1 在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+）31 21内为增函数，试求实数 a 的取值范围.南京师范大学附属实验学校 2010 届高三一轮复习 理科数学教学案 导数 15.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示） 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心的距离为多少时，帐篷1o的体积最大？剖析剖析本题可设的长度为变量，根据题意建立关1OOxV于的函数关系，利用导数进行求最值。x解解设 OO1为，则,由题设可得正六棱锥底xm41 x面边长为：， （单位：）22228) 1(3xxxm故底面正六边形的面积为：=， （单位：(43622)28xx )28(2332xx ）2m帐篷的体积为：（单位：)28 (233V2xxx）（ 1) 1(31x)1216(233xx ）3m求导得。)312(23V2xx）（令，解得（不合题意，舍去） ，0V）（x2x2x 当时，为增函数；21 x0V）（x）（xV 当时，为减函数。42 x0V）（x）（xV 当时，最大。2x）（xV答：当 OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。2m3163m
