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1、第四章根轨迹法第4章 根轨迹法基本要求4-1 根轨迹与根轨迹方程4-2 绘制根轨迹的基本法则4-3 广义根轨迹4-4 系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系4-5 系统阶跃响应的根轨迹返回主目录基本要求 1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极 点、偶极子等概念。 2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。熟 练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和 开环增益。 3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解， 熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益K 从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。 返回子目录4.正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系 ，初步掌握运用根轨迹分析参
2、数对响应的影响。 能熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系统近 似为一、二阶系统给出定量估算。5.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。 根轨迹法根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传 递函数之间的关系，直接由开环传递函数零 、极点求出闭环极点（闭环特征根）。这给 系统的分析与设计带来了极大的方便。闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统极 点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确 定出闭环极点位置是十分有意义的。定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参 数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特征 根在s平面上移动的轨迹。41 根轨迹与根轨迹方程当闭环系统为正反馈时，对应的轨迹为零 度根
3、轨迹；而负反馈系统的轨迹为 根轨 迹。一、根轨迹返回子目录例子 如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：开环传递函数有两个极点 。没有零点，开环增益为K。闭环特征方程为闭环特征根为 闭环传递函数为从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化 而变化。例如，设K=0K=0.5K=1K=2.5K=+如果把不同K值的 闭环特征根布置在s 平面上，并连成线， 则可以画出如图所示 系统的根轨迹。二、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系 如图所示系统闭环传递函数为（44）图43 控制系统 将前向通道传递函数G（s）表示为：（45）为前向通道增益， 为前向通道根轨迹增益式中 为反馈通道的根轨迹增益。（47）
4、（46）（48）闭环传递函数分别为闭环零、极点。式中：（410）比较式（48）和式（410）可得出以下结论闭环系统根轨迹增益等于系统前向通 道的根轨迹增益； 闭环系统零点由前向通道的零点和反 馈通道的极点组成； 闭环系统的极点与开环系统的极点、 零点以及开环根轨迹增益 有关。根轨迹法的任务是在已知开环零、极点 分布的情况下，如何通过图解法求出闭 环极点。三、根轨迹方程 根轨迹方程G(s)H(s)=-1 （4-12）式中G(s)H(s)是系统开环开环传递函数，该式明确表示出开开 环环传递函数与闭环极点的关系。 闭环特征方程D(s)=1+G(s)H(s)=0 （4-11）闭环极点就是闭环特征方程的
5、解，也称为特征根。设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定 nm，这时式（412）又可以写成：（413）不难看出，式子为关于s的复数方程，因 此，可把它分解成模值方程模值方程和相角方程相角方程。相角 方程（415）模值 方程（414）注意 在实际应用中，用相角方程相角方程绘制根轨迹， 而模模 值方程值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点 的 值。 模值方程模值方程不但与开环零、极点有关，还与开 环根轨迹增益有关；而相角方程相角方程只与开环零、 极点有关。 相角方程相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要充分必要 条件条件。例4-1它们应满足相角方程（415）已知系统的开环传递函数试证明复平面上点
6、是该系统的闭环极点。若系统闭环极点为证明： 该系统的开环极点图44例41开环零、极点分布图(k=0)以 为试验点，可得以 为试验点，观察图44，可得图44证毕可见， 都满足相角方程，所以， 点是闭环极点。例42已知系统开环传递函数 当 变化时其根轨迹如图4-5所示， 求根轨迹上点 所对应的K值。解 根据模值方程求解 值模值方程图4-5根据图45可得所以图4-5上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平 面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点 对应的 值。根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭 环特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹 。42 绘制
7、根轨迹的基本法则一、根轨迹的分支数分支数开环极点数开环特征方程的阶数二、根轨迹对称于实轴闭环极点为实数在实轴上复数共轭对称于实轴返回子目录起于开环极点，终于开环零点。三、根轨迹的起点与终点由根轨迹方程有：若开环零点数m 开环极点数n (有 个开环零点在无穷远处)则有( )条根轨迹趋于无穷远点 起点终点四、实轴上的根轨迹实轴上根轨迹区段 的右侧，开环零、 极点数目之和应为 奇数。证明：设一系统开环零、 极点分布如图。在实轴上任取一试验点 代入相角方程则所以相角方程成立，即 是根轨迹上的点。一般，设试验点右侧有L个开环零点，h个开环极 点，则有关系式证毕如满足相角条件必有所以，L-h必为奇数，当然
8、L+h也为奇数。例43设一单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1),求 时的闭环根轨迹。 解：解：将开环传递函数写成零、极点形式设一单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1),求 时的闭环根轨迹。最后绘制出根轨迹如图47所示。法则一，有两条根轨迹 法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点 0、2，一条终于有限零点1，另一条 趋于无穷远处。 法则四，在负实轴上，0到1区间和2 到负无穷区间是根轨迹。按绘制根规迹法则逐步进行：图47例43根轨迹法则五、根轨迹的渐近线 渐近线与实轴正方向的夹角为：渐近线与实轴相交点的坐标为：例4-4已知系
9、统的开环传递函数试根据法则五，求出根轨迹的渐近线。极点解：零点按照公式得以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线对应的开环传递函数(a)(b)(c)(d)法则六、根轨迹的起始角和终止角根轨迹的终止角是指终止于某开 环零点的根轨迹在该点处的切线与水 平正方向的夹角。根轨迹的起始角是指根轨迹在起点 处的切线与水平正方向的夹角。起始角与终止角计算公式 起始角计算公式：终止角计算公式：例45设系统开环传递函数试绘制系统概略根轨迹。解 将开环零、极点画在图412的根平面上，逐步画图：图412 例45根轨迹 n=2，有两条根轨迹 两条根轨迹分别起始于开环极点 (-1-j2), (-1+j2) ； 终于开环零点
10、 (-2-j) ,(-2+j) 确定起始角,终止角。 如图413所示。例45根轨迹的起始角和终止角图413 定义定义：几条（两条或两条以上）根轨迹 在s平面上相遇又分开的点。 若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间 ，则此二极点之间至少存在一个分离点 。 若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间 ，则此二极点之间至少存在一个会合点 。七、根轨迹的分离点坐标d分离点的坐标d可由下面方程求得式中： 为各开环零点的数值，为各开环极点的数值。例46已知系统的开环传递函数试求闭环系统的根轨迹分离点坐标d，并概 略绘制出根轨迹图。解：根据系统开环传递函数求出开环极点按步骤：n=2,m=1,有两条根轨迹两条根轨迹分别
11、起于开环极点，终于开环 零点和无穷远零点实轴上根轨迹位于有限零点1和无穷零点 之间，因此判断有分离点离开复平面极点的初始角为渐近线（舍去）6、求分离点坐标d此系统根轨迹如图4-15所示图415八、分离角与会合角所谓分离角是指根轨迹离开分离点处的切 线与实轴正方向的夹角。 分离角计算公式（445）所谓会合角是指根轨迹进入重极点处 的切线与实轴正方向的夹角。 会合角计算公式分离角与会合角不必经公式计算，可以用下列简 单法则来确定：若有 条根轨迹进入d点，必有 条根轨迹离开d点 ；条进入d点的根轨迹与 条离开d点的根轨迹相间隔 ；任一条进入d点的根轨迹与相邻的离开d点的根轨 迹方向之间的夹角为 ；因
12、此只要确定了d点附近的一条根轨迹的方向，由上述规律 就可以方便地确定d点附近所有的根轨迹方向，而确定d点 附近根轨迹方向的方法可根据法则2 、法则4 或取试验点用 相角条件来验证。九、根轨迹与虚轴的交点如根轨迹与虚轴相交，则交点上 的 值和 值可用劳思判据判定 ，也可令闭环特征方程中的 ，然后分别令其实部和虚部为零 求得。例47 设系统开环传递函数为试绘制闭环系统的概略根轨迹。解解：按步骤画图 有4条根轨迹 各条根轨迹分别起于开环极点0，-3，-1+j1, -1-j1 ；终于无穷远 实轴上的根轨迹在0到-3之间 渐近线 确定分离点d解方程得（舍去）确定起始角 确定根轨迹与虚轴的交点。令 代入上
13、式解得闭环系统的特征方程为图417 例47根轨迹十、根之和与根之积如果系统特征方程写成如下形式闭环特征根的负值之和，等于闭环特征 方程第二项系数 。若 根之和与开环根轨迹增益 无关。 Tipsn在开环极点已确定不变的情况下，其和为常值，因此 ，n-m2的系统，当增益的变动使某些闭环极点在s 平面上向左 移动时，则必有另一些极点向右移动，这 样才能保证极点之和为常值。这对于判断根轨迹的走向 很有意义。闭环特征根之积乘以 ，等于闭环特 征方程的常数项。例48已知单位负反馈系统开环传递函数为试画出 时的闭环系统的 概略根轨迹，并求出 时的闭环传 递函数及闭环极点。解；根据根轨迹绘制法则，按步计算：n
14、=4，有四条根轨迹； 起始于开环极点0，-20，-2-j4, -2+j4，终 于无穷远处； 实轴上的根轨迹在（0，-20）区间； n=4,m=0,则有4条根轨迹趋于无穷远，它 们的渐近线与实轴的交点和夹角为取 根轨迹的起始角。解得 分离点坐标d。舍 根轨迹与虚轴交点。系统特征方程解得解得则两个闭环 极点令令代入代入此时特征方程特征方程为利用综合除法，可求出其他两个闭环极点图419例48根轨迹图图4-18常见闭环系统 根轨迹图43 广义根轨迹一、开环零点变化时的根轨迹设系统开环传递函数为(4-59)闭环特征方程为(4-60)等效变换成返回子目录令（461）显然，利用式461就可以画出关于 零点变化的根轨迹，它就是广义根轨迹。二、开环极点变化时的根轨迹设一负反馈系统的开环传递函数为现在研究 变化的根轨迹。等效开环传递函数为根据式（462）可画出 变化时的广义根轨迹。已知系统的开环传递函数为试绘制当开环增益K为 时，时 间常数 变化时的根轨迹。例4-10解： 题目显然是求广义根轨迹问题。系统特征方程为等效开环传递函数为等效开环传递函数有3个零点，即0，0，-1；2个极点，不同K值可计算出不同极点 。按照常规根轨迹的绘
