《随机变量的数字特征》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机变量的数字特征（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、医药数理统计方法 3.1Ch3 随机变量的数字特征分布函数能够全面地反映一个随机变量的 统计规律，但在一些实际问题中，只需知道 随机变量的一个或几个分布特征即能解决问 题。例如:1)评定某企业的经营能力时，只要知道 该企业人均赢利水平；2)测量某药物主要成分的含量，只需知 道这些测量数值的平均值和测量结果的精确 程度；医药数理统计方法 3.13)考察一射手的水平，既要看他的平均 环数是否高，还要看他弹着点范围是否小， 即数据波动是否小. 由从上面例子看到，与随机变量有关的某些 数值，虽不能完整地描述随机变量，但它们 都是随机变量概率性质的表现，能清晰地描 述随机变量在某些方面的重要特征, 这些
2、数 字特征在理论和实践上都具有重要意义。表示随机变量分布特征的数量指标称为 随机变量的数字特征。医药数理统计方法 3.1常用的数字特征有二类： 1)位置参数表示随机变量分布的集中程度、平均水 平。如：数学期望、中位数、众数等。2)变异参数表示随机变量分布的离散程度、变异大 小。如：方差、变异系数、协方差等。医药数理统计方法 3.13.1 数学期望一、离散型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望三、数学期望的性质四、随机变量函数的数学期望医药数理统计方法 3.1一、离散型随机变量的数学期望Xx1x2xk频数n1n2nk 平均数概率p1p2pk例（改）: 某药厂一车间生产某种片剂药 品，检
3、验员每天随机地抽取相同的片数来检 验，查出的不合格品数X为一个随机变量。医药数理统计方法 3.1定义3.1 设离散型随机变量X的概率函数为若级数 绝对收敛，则称该级数为随机变量X的数学期望(mathematical expectation)或总体均数，也简称为均值或均数，记为E(X)，即医药数理统计方法 3.1注：1)若级数 发散，则称X的数学期望 不存在。2)由P76 辛钦大数定律知，当n充分大时 ，算术平均数必然接近总体均数（或数学期 望）。这个事实说明，数学期望E(X)是一个 描述随机变量“平均数(值)”或取值“中心 ”的数字特征。医药数理统计方法 3.1例3.1 设离散型随机变量X的概
4、率函数为X-1012P0.10.20.40.3试求E(X)。解：医药数理统计方法 3.1例3.3 (最佳普查方案)在共有N个人群中， 普查这种疾病，若逐个验血就需作N次检验， 现问能否用概率的思想方法来减少检验的工 作量？ 解：1)先把受验者分组。设每组有k个人，把 这k个人的血液混合在一起进行检验，若检验 的结果是阴性，则说明这k个人的血液全部都 是阴性，因而这k个人只需检验一次就够了， 即平均每人检验了1/k次；若检验的结果为阳 性，则再对这k个人逐个检验，此时，对这k 个人共做了k+1次检验，平均每人检验了 (k+1)/k次。医药数理统计方法 3.12)假设此种疾病的发病率p很小，并且
5、每个人的反应时独立的。并假设每个人需 检验的次数为X，则X得分布列为X1/k(k+1)/k P(1-p)k1-(1-p)k由于要减少工作量，所以要求E(X)0，试求标准化随机变量解：医药数理统计方法 3.2三、其他数字特征1、协方差 (P69) 设(X,Y)为二维随机向量，若 EXE(X)YE(Y)存在，则称其为随机 变量X与Y的协方差。医药数理统计方法 3.22、相关系数 (P71)设(X,Y)为二维随机向量，则称为X与Y的相关系数。注： 1)相关系数是表示两个随机变量之间线性相关 程度的一个数字特征。 2)|=1，则称随机变量X与Y完全相关;=0，则称随机变量X与Y不相关。医药数理统计方法
6、 3.23、矩 (P74)设X与Y是为两个随机变量，k与l为正整数。 若E(Xk)存在，则称它为X的k阶原点矩； 若EXE(X)k存在，则称它为X的k阶中心矩； 若E(XkYl)存在，则称它为X与Y的kl阶混合矩； 若 E(XE(X)kYE(Y)l 存在，则称它为 X和Y的kl阶混合中心矩。注：随机变量X的数学期望E(X)是X的一阶原 点矩；方差V(X)是X的二阶中心矩；协方差是 X与Y的二阶混合中心矩。医药数理统计方法 3.33.3 大数定律与中心极限定理一、大数定律二、中心极限定理三、二项分布与泊松分布的正态近似医药数理统计方法 3.3一、大数定律1、伯努利大数定律当n很大时，频率必然接近
7、于概率。2、辛钦大数定律当n很大时，算数平均数必然接近于总 体均数。医药数理统计方法 3.3二、中心极限定理注: 1)定理表明-无论Xk(k=1,2,)服从什么 分布，只要它们是独立、同分布的，则当n充 分大时，它们的和近似服从正态分布。2)定理还揭示了正态分布的形成机制。如 果某一个量的变化时由大量的、相互独立的随 机因素的影响所造成，这种影响的总后果就是 各个因素的叠加。而当这些因素中没有一个因 素起主导作用，那么这个独立和的随机变量通 常都服从或近似服从正态分布。(P78)医药数理统计方法 3.3三、二项分布与泊松分布的正态近似棣莫佛-拉普拉斯定理表明，当n充分大 时，二项分布可用正态分布来近似。注：1)在用连续型随机变量的正态分布计算 离散型随机变量的二项分布时，有时需要先 进行连续性的校正。通常在大样本(n50)情 况下，一般都不再使用连续性校正公式(是否使用连续型校正的两种计算结果相差不大)。2)泊松分布时n时二项分布的极限分 布，所以当n充分大时，泊松分布也近似服从 正态分布。
