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1、当市场上有N种证券时，由它们构造的选择集S是 无限集。投资者在选择最优证券组合时，实际上不 需要对这所有的组合都做评价，只要在S的一个子 集中做选择即可。这就是这一章将要讨论的有效前 沿.有效前沿的定义 定义2.1 设S是N种证券的选择集，如果其中存在一个子集F(p) ，具有如下性质：在给定的标准差（或方差）中，F(p)中的证券组合在S中具有最大 的期望收益率。在给定的期望收益率中，F(p)中的证券组合在S中具有最小的标准 差（或方差）。则称F(p)为有效前沿（efficient frontier），简称前沿。有效前沿与投资选择从投资选择集中找到有效前沿，投资者只需在前沿上选出一个最优 的证券
2、组合即可。本章将讨论有效前沿的形状，计算方法和最优证券组合的求法。2.1.1 两种风险证券组合的有效前沿假设：两种风险证券A和B，投资者将总投资按比例x购买证券A，(1-x) 购买证券B，证券组合的一般形式为p= (x，1-x)，x0，1，则 选择集S=(x，1-x)，x0，1。设证券A和B的期望收益率为 ra和r b，并设它们的方差和协方差 分别为a2，b2，abab，证券组合p的期望收益率和方差如下：为了讨论证券组合p的有效前沿形状，先推导 p和p的关系。分 三种情况分别考虑。三种情形下对有效前沿的讨论：如果有三种证券A，B，C可供选 择，由于三种证券的各种组合是 包含A和B，B和C，A和
3、C的所有 组合，它比只选两种证券多了一 个选择，因而三种证券的有效前 沿应包含前沿1，2，3于内部， 即形成曲线4，如图2.2。当有N种证券存在时，投资选择 集形如图2.3的伞形，有效前沿为 线段SE。目标：推导N种风险证券的有效前沿的方程。假设：市场上有N种风险证券，期望收益率：证券组合：X= (x1，x2，xN)，I = (1，1，1)，证券组合期望收益率和方差分别 为有效前沿的求解问题：N元证券组合的求解问 题被转换成为均值-方差 的二元问题！有效前沿的推导（求 和 之间的关系）：拉格朗日函数及其一阶条件：推导最小方差的证券组合 和 的关系：利用两个证券组合的协方差得出前沿上的证券组合方
4、差：（2.20）是在p- rp坐标系中一条开口向右 的双曲线，它的上半枝就是有效前沿。有效前沿的特点：它是一条中心为(0，A/C)，渐近线为 的双曲线；(1/C)1/2，A/C)点在所有证券组合中方差最小，因而叫最小方差 证券组合，简记为MVP（minimum variance portfolio）有效前沿就是在MVP以上那半枝。无风险证券它的期末收入是确定的。因此这种证券的方差为零， 从而它和任何一种股票的协方差也为零。我们把无风 险证券简称为债券。假设：设市场上存在一种债券，收益率为rf，投资者可以以 无风险利率rf借贷。设存在一种股票A，它的期望收益率为ra，标准差为a ，投资者可以把全
5、部资金用于购买股票A，也可以用 一部分资金买股票A，余额买债券。证券组合：以x1记投入债券的比例， 则x2 = (1-x1)是购买股票的 比例。因为 = 0及 cov（rf ，ra） = 0，故证券组合 (x1，x2)的期望收益率和 标准差分别为图2.5中的射线是存在无风险 证券时，有效证券组合的前 沿，前沿从曲线简化为直线。前沿上的A点代表的证券 组合为（0，1），即投资者 用全部资金购买股票；A左 边的点B的证券组合意味着 投资者按比例用一部分资金 购买债券，其余的购买股票。B 越靠近（0，rf），则投 资在债券上的比例越大。A 右边点C的证券组合意味着 投资者按利率rf借钱，把借 来的钱
6、和原有的资金全部用于购买股票；最后，点（0， rf）的证券组合是把全部资 金用于购买债券，这是一个 极其厌恶风险的投资者的选 择。如果有两种股票A和B，及 一种债券rf，把全部资金投 入A和B之中时，得一条双 曲线型的有效前沿；如果把 全部资金投入股票A和债券 中，有效前沿为射线rfA； 如果把全部资金投入股票B 和债券中，有效前沿为射线 rfB；如果把全部资金投入股 票A，B和债券中，则连接rf 和曲线AB上任一点的射线 都是可能的投资组合，但从 图2.6中看出，有效前沿为从 (0，rf)出发，与双曲线AB相 切的射线，切点e起着和图 2.5中A点相同的作用，又因 为e在曲线AB上，故e仅由
7、 股票A和B组成。对N 种股票及一种债券的情形给出一般的结果：以 X=(x1，x2，xN)记在 N种股票上的投资比例， (1 -XI) 是在债券上的投资比例；最优证券组合的求解问题：由一阶条件求得证券组合的方差为N 种股票及一种债券的情形的切点e对风险证券组合的有效前沿两边求微分,整理后得切点 e的期望收益率:切点e的标准差:切点证券组合e的投资比例:切点的证券组合Xe2.3.1 N种风险证券的情形最优证券组合（optimal portfolio）:投资者对证券组合 的选择，就是在现有可能的条件 下，选择一个组合使他的效用达 到最大。最优证券组合只需在前 沿上作选择。应用无差异曲线求最优证券组
8、合当给定投资者的无差异曲线簇 Ik时，投资者的最优证券组 合O*是前沿上的使Ik尽可能大 的点，图2.10所示即为I2与前 沿的切点O*。应用效用函数求最优证券组合 设投资者的效用函数为U( rp，p2) 并设U1 0和U2 0， 投资者的问题:最优证券组合推导:问题:推导:构造拉格朗日函数:由一阶条件解得:理论结果： 定理2.1 当市场上只有风险证券时，任何投资者的最优 证券组合都是由Xd和Xg的凸组合构成的。推论1 任何效用无差异曲线和有效前沿的切点都是由Xd和Xg的凸组合构成的。 推论2 有效前沿上任何一点都是Xd和Xg的凸组合。问题与求解推导设市场上有N种风险证券和一种债券，在风险证券
9、上的投资比例为X ，在无风险证券上的投资比例为（1 XI）证券组合的期望收益率:投资者的问题:求得在股票上的最优投资比例:结果分析和切点e的表达式（2.37）比较，最优证券组合O*在各种股票上的投 资比例关系和切点e的投资比例关系是一样的。定理2.2 (两资金分离定理，two-fund separation)：当市场上存在无 风险证券时，每个投资者有一个效用最大的证券组合，它由无风险 证券和切点证券组合构成。改写（ 2.37 ）为：切点e的证券组合也是Xd和Xg的凸组合。241 切点e证券组合的计算方法 例2.1 设风险证券A和B分别有期望收益率 =12%， = 8%，方 差分别为 = 10和
10、 = 4，它们之间的协方差12 = 2，又设 无风险证券的收益率rf = 6%，求切点证券组合Xe.方法归纳： 用公式(2.14)-(2.16)，先 求出A，B，C，D，带入 (2.37)就可求出切点组合 。241 切点e证券组合的计算方法 例2.1 设风险证券A和B分别有期望收益率 =12%， = 8%， 方差分别为1= 10和2 = 4，它们之间的协方差12 = 2，又 设无风险证券的收益率rf = 6%，求切点证券组合Xe.方法归纳： 利用两资金分离定理，从风险 投资比例中导出切点投资组合 。241 切点e证券组合的计算方法 例2.1 设风险证券A和B分别有期望收益率 =12%， = 8
11、% ，方差分别为1= 10和2 = 4，它们之间的协方差12 = 2 ，又设无风险证券的收益率rf = 6%，求切点证券组合Xe.方法3的推广在N种股票的情形：2.4.2 证券组合应用例子例2.2 一个国家的外汇储备作为资产也有在安全条件下增值的要求。为达到这一目标， 可以将其在不同国家投资，由此形成了外汇储备的资产组合。一个国际公司可以考虑在多个国家投资，利用不同国家之间的经济多样性和汇率 的变动来获得较高的收益和避免风险。本题利用B. Solnik对1971年至1988年的数据、计算的17个国家和地区股票市场投 资的收益率、风险（标准差）和相关系数（表2.1），还考虑一种无风险资产，美 国国债，其收益率固定为rf = 0.06。用这些数据我们可以求出国际投资的最优资 产组合。求解分析：问题：结果：
