倒数和微分导数的概念

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1、返回返回后页后页前页前页导数是微分学的核心概念, 是研究函数1 导数的概念 一、导数的概念化率”, 就离不开导数.三、导数的几何意义二、导函数态的有力工具. 无论何种学科, 只要涉及“变与自变量关系的产物, 又是深刻研究函数性返回返回返回返回后页后页前页前页一、导数的概念一般认为, 求变速运动的瞬时速度，求已知曲线别在研究瞬时速度和曲线的牛顿 ( 16421727, 英国 ) 两个关于导数的经典例子.切线时发现导数的. 下面是微分学产生的三个源头. 牛顿和莱布尼茨就是分上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是返回返回后页后页前页前页1. 瞬时速度 设一质点作直线运动, 质点的位置 s 是当

2、t 越来越接近 t0 时，平均速度就越来越接近 t0时间 t 的函数, 即其运动规律是 则在某(1)时刻的瞬时速度. 严格地说, 当极限时刻 t0 及邻近时刻 t 之间的平均速度是返回返回后页后页前页前页2. 切线的斜率 如图所示, 存在时, 这个极限就是质点在 t0 时刻的瞬时速度.其上一点 P( x0, y0 ) 处的切线点击上图动画演示点 Q , 作曲线的割线 PQ ，这PT. 为此我们在 P 的邻近取一需要寻找曲线 y = f (x) 在 条割线的斜率为返回返回后页后页前页前页答: 它就是曲线在点 P 的切线 PT 的斜率.的极限若存在，则这个极限会是什么呢？设想一下,当动点 Q 沿此

3、曲线无限接近点 P 时，(2)返回返回后页后页前页前页上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同x0 处关于 x 的瞬时变化率(或简称变化率).均变化率，增量比的极限 (如果存在) 称为 f 在点的极限. 这个增量比称为函数 f 关于自变量的平D y = f (x) f (x0) 与自变量增量 D x = x xo 之比一类型的数学问题： 求函数 f 在点 x0 处的增量返回返回后页后页前页前页定义1 设函数 y =f (x) 在点 x0 的某邻域内有定义，如果极限存在, 则称函数 f 在点 x0 可导, 该极限称为 f 在如果令 Dx = x x0, Dy = f (x0 +Dx) f (x

4、0), 导数就x0 的导数，记作可以写成返回返回后页后页前页前页这说明导数是函数增量 D y 与自变量增量 D x之比例1 求函数 y = x3 在 x = 1 处的导数，并求该曲线在点 P (1,1) 的切线方程.解的极限,即 就是 f (x) 关于 x 在 x0 处的变化点 x0 不可导.率. 如果 (3) 或 (4) 式的极限不存在, 则称 在返回返回后页后页前页前页由此可知曲线 y = x3 在点 P(1, 1) 的切线斜率为所以于是所求切线方程为即返回返回后页后页前页前页例2 常量函数 f (x) = c 在任何一点 x 的导数都为例3 证明函数 f (x) = | x | 在 x

5、= 0 处不可导 .证 因为时它的极限不存在, 所以 f (x) 在 x = 0当零. 这是因为 Dy 0，所以处不可导 .返回返回后页后页前页前页例4 证明函数在 x = 0 处不可导.不存在极限,所以 f 在 x = 0 处不可导.证 因为当 时,返回返回后页后页前页前页(5)式称为 f (x) 在点 x0 的有限增量公式, 这个公有限增量公式 设 f (x) 在点 x0 可导，则这样, 函数 f (x) 的增量可以写成根据有限增量公式即可得到下面定理.时的无穷小量，于是 D x = o(D x).是当式对 Dx = 0 仍然成立.返回返回后页后页前页前页定理5.1 如果函数 f 在点 x

6、0 可导, 则 f 在点 x0连续. 值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可其中 D(x) 是熟知的狄利克雷函数.例5 证明函数 仅在 x = 0 处可导, 处连续，却不可导. 导的必要条件. 如例3、例4 中的函数均在 x = 0返回返回后页后页前页前页不连续, 由定理 5.1, f (x) 在点 x0 不可导.由于导数是一种极限, 因此如同左、右极限那样, 所以有当 x0 = 0 时, 因为证 当 时,用归结原理容易证明 f (x) 在点 x0 可以定义左、右导数 ( 单侧导数 ).返回返回后页后页前页前页存在，则称该极限为 f (x) 在点 x0 的右导数, 记作类似地可以定义左导数

7、 , 合起来即为: 上有定义，如果右极限定义2 设函数 y =f (x) 在点 的某个右邻域返回返回后页后页前页前页右导数和左导数统称为单侧导数.定理5.2 如果函数 y =f (x) 在点 x0 的某个邻域内有在讨论分段函数在分段点上的可导性时, 本结论定义，则存在的充要条件是都存在，且很有用处，请看下面例题.类比左、右极限与极限的关系，我们有：返回返回后页后页前页前页例6 设试讨论 f (x) 在 x = 0 处的左、右导数和导数.解 容易看到 f (x) 在 x = 0 处连续. 又因 所以返回返回后页后页前页前页故 f (x) 在 x = 0 处不可导.返回返回后页后页前页前页二、导函

8、数如果函数 f 在区间 I 上的每一点都可导 (对于区间(7)即导函数，简称导数, 记作定义了一个在区间 I 上的函数，称为 f 在 I 上的则称 f 为区间 I 上的可导函数. 此时, 对 I 上的任端点考虑相应的单侧导数, 如左端点考虑右导数) ,仅为一个记号，学了微分之后就会知注 这里意一点 x 都有 f 的一个导数 与之对应, 这就返回返回后页后页前页前页道，这个记号实质是一个“微分的商”.例7 求函数 y = xn 的导数，n为正整数.解 由于 相应地， 也可表示为因此返回返回后页后页前页前页例8 证明:我们只证明 ( i ) 的第二式和 ( iii ) . 返回返回后页后页前页前页

9、证 ( i ) 由于上的连续函数，所以返回返回后页后页前页前页(iii) 由于因此特别有返回返回后页后页前页前页三、导数的几何意义切线的方程是记 a 为切线与 x 轴正向的夹角，则f (x0) = tana .(8)在用几何问题引出导数概念时, 已知 是曲线处切线的斜率. 在点所以该返回返回后页后页前页前页由此可知, f (x0) 0 说明 a 是锐角; f (x0) 0 , 使得(9)再由 ,得 于是 (9) 式成立 .返回返回后页后页前页前页根据例11，可得如下重要定理：设函数 f 在点 x0 的某邻域内有定义,且在点 x0 可定理 5.3 (费马定理)导. 如果 x0 是 f 的极值点，

10、则必有使得类似地，若上述定理的几何意义：如果 f 在极值 x = x0 处可导，则该点处的切线平行于 x 轴.返回返回后页后页前页前页称满足方程 f (x) = 0 的点为 f 的稳定点.注 稳定点不一定都是极值点，如 x = 0 是 y = x3不是稳定点 ( 因为它在 x = 0 处不可导 ).都是稳定点, 如 x = 0 是 y = | x | 的极小值点 , 但的稳定点,但不是极值点. 反之,极值点也不一定返回返回后页后页前页前页费马 ( Fermat, P. 1601-1665, 法国 )达布 ( Darboux,J.G. 1842-1917, 法国 )返回返回后页后页前页前页定理5

11、.4(达布定理)是介如果 f 在 a, b 上可导，且之间的任一实数，则至少存在证 令 F(x) = f (x) kx, 则 F (x) = f (x) k .根据费马定理,只要证明 F(x) 在 (a, b) 上有极值点即可.由于返回返回后页后页前页前页使得由此可知, a, b 上的连续函数 , 其最大值必在由费马定理得 , 即定是极大值,某一点 c (a, b) 处取得. 区间内取得的最大值一返回返回后页后页前页前页复习思考题3. 举出一个函数 , 它满足但 不是它的垂直切线. 4. 举出一个函数 , 要求它可导, 但 不连续. 试问这种不连续的导函数是否仍有介值性? 2. 给出函数 f

12、(x) 在点 x0 不可导的 “ ” 定义.1. 给出函数 f (x) 在点 x0 可导的 “ ” 定义.返回返回后页后页前页前页一、导数的四则运算2 求导法则导数很有用，但全凭定义来计算导四、基本求导法则与公式三、复合函数的导数二、反函数的导数求导法则, 使导数运算变得较为简便.数是不方便的. 为此要建立一些有效的返回返回返回返回后页后页前页前页一、导数的四则运算在点 x0 也可导, 且推论 若 u (x) 在点 x0 可导,c 是常数，则在点 x0 也可导, 且定理 5.6 若函数 在点 x0 可导, 则函数定理 5.5 若函数 在点 x0 可导, 则函数返回返回后页后页前页前页定理 5.

13、6 可推广到任意有限个函数相乘的情形, 如下面证明乘积公式 (2), 请读者自行证明公式 (1) .证 (2) 按定义可得 返回返回后页后页前页前页注意: ,千万不要把导数乘积公式 (2)记错了.返回返回后页后页前页前页例1 解因此, 对于多项式 f 而言, 总是比 f 低一个幂次.例2 解 由公式 (2)，得返回返回后页后页前页前页在点 x0 也可导，且定理5.7 若函数 在点 x0 可导,返回返回后页后页前页前页证由于 在点 x0 可导, 因此返回返回后页后页前页前页对 应用公式 (2) 和 (5), 得(5)返回返回后页后页前页前页例3 求下列函数的导数：解返回返回后页后页前页前页同理可

14、得 同理可得返回返回后页后页前页前页证定理 5.8 设 为 的反函数， 在由假设, 在点的某邻域内连续,且严格二、反函数的导数则 在点 可导, 且点 的某邻域内连续，严格单调, 且返回返回后页后页前页前页例4 求下列函数的导数：便可证得注意到单调, 从而有返回返回后页后页前页前页解上的反函数，故返回返回后页后页前页前页同理有的反函数，故上返回返回后页后页前页前页定理 5.9在点 x0 可这个定理一般用有限增量公式来证明，但为了与导，且三、复合函数的导数证法, 为此需要先证明一个引理.今后学习向量函数相联系，这里采用另一种新的返回返回后页后页前页前页引理 f 在点 x0 可导的充要条件是: 在 x0 的某邻证 设 f (x) 在点 x0 可导, 且令返回返回后页后页前页前页得 f (x) 在点 x0 可导,下面证明定理 5.9 ( 公式 (7) ) .根据极限返回返回后页后页前页前页同理， 则存在一个在点 x0于是当 有由引理的必要性知存在一且连续的函数返回返回后页后页前页前页公式(7)改写为连续，根据引理的充分性,这样就容易理解 “链” 的复合函数求导公式 (7) 又称为 “链式法则”.若将返回返回后页后页前页前页例5在链式法则中一定要区分意义了.解分解成 这两个于是由链式法则, 有基本初等函数的复合，返回返回后页后页前页前