《概率论课件-第五章 大数定律与中心极限定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论课件-第五章 大数定律与中心极限定理（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章 大数定律与中心极限定理 一、大数定律二、中心极限定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 大数定律 第五章 第一节一、 切比雪夫Chebyshev不等式二、几个常见的大数定律定义1,有:设随机变量序列，如果存在常数 a ，使得对于任意依概率收敛于a ，记为则称预备知识：机动 目录 上页 下页 返回 结束 等价形式：有则称此式为切比雪夫不等式。存在，则对任意证明 设 X 为连续性（离散型类似），其密度为设随机变量X 的数学期望命题 (切比雪夫Chebyshev不等式）机动 目录 上页 下页 返回 结束 则注：Chebyshev不等式对随机变量在以的一个领域外取值的概率给出了一个上界为中心例
2、1 一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7，求同时开的灯数在6800至7200之间的概率至少为多少?解： 设X 为同时开的灯数。由二项分布用切比雪夫不等式已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数解 设每毫升白细胞数为X 依题意，EX =7300, DX =7002所求为由切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在 52009400 之间的概率 .平均是7300，均方差是700， 利用切比雪夫不等式例2即每毫升白细胞数在5200-9400之间的概率不小于8/9。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 大数定律的客观背景大量的随机现象中平均结果的稳定性 大量抛掷硬币 正面出现频率字母使用频率生产过
3、程中的 废品率机动 目录 上页 下页 返回 结束 几个常见的大数定律定理1（切比雪夫大数定律）则即对任意的 0，设 X1 , X2 , 是一列相互独立的随机变量序列，它们都有相同的数学期望证明机动 目录 上页 下页 返回 结束 由切比晓夫不等式得：所以其取值接近于其数学期望的概率接近于1.当n充分大时，差不多不再是随机的了，注：机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2（辛钦定律）且具有相同的数学期望辛钦设随机变量序列X1 , X2 , 独立同分布，则辛钦大数定律中，随机变量的方差可以不存在，只要独立同分布就可以了。比较和定理1的条件有什么不同？机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理3（伯努
4、利大数定律）P是事件A发生的概率，则对任给的 0，有或设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数，即证明 引入随机变量试验中A发生，试验中A不发生，机动 目录 上页 下页 返回 结束 显然且又由于各次试验相互独立，所以独立同分布, 则由辛钦大数定律可得显然伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况。机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3 如何测量某一未知的物理量a ,使得误差较小？解 在相同的条件下测量n 次，其结果为，它们可看成是相互独立、相同分布的随机变量，并且有数学期望为a . 于是由辛钦大数定律可知，当时，有因此我们可取n次测量值的算术平均值作为a 的近似值，即,当n充分大时误差很小。机动 目
5、录 上页 下页 返回 结束 则这种量X 一般都服从或近似服从正态分布。客观背景，观察表明：如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所 造成，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.在概率论中，而每一个别因素在总影响 X 中所起的作用不大。第二节 中心极限定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1（独立同分布的中心极限定理）且服从同一分布，具有相同的期望和方差则设 相互独立，即或近似近似机动 目录 上页 下页 返回 结束 之和总可以近似服从正态分布.此定理表明，无论原来服从什么分布， 当n充分大时，例1 某人要测量甲、乙两地之间的距离。 限于测量工具，他分成 1200
6、段来测量。每段测量误差（单位 厘米）服从于（-0.5,0.5)上的均匀分布。求总距离误差的绝对值超过20厘米的概率。解 设第k 段的测量误差为且是独立同分布的随机变量。且机动 目录 上页 下页 返回 结束 累计误差即总距离误差为，由独立同分布的中心极限定理可得,即则所求概率为近似近似机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2（棣莫佛-拉普拉斯定理）De Moivre-Laplace设随机变量 服从参数为的二项分布则对任意的，有即或证 因为近似机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以其中相互独立，且都服从（0-1）分布。由独立同分布的中心极限定理可得机动 目录
7、 上页 下页 返回 结束 注：此定理表明正态分布是二项分布的极限分布，当n 充分大时，可以利用正态分布计算二项分布的概率。推论： 设随机变量近似计算，当n充分大时有：机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 报童沿街向行人兜售报纸，假设每位行人买报的概率为0.2, 且他们是否买报是相互独立的。求报童向100位行人兜售之后，卖掉1530份报纸的概率。解 设报童卖掉报纸的份数为X ，例2 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？解 设有X 部分机同时使用外线，则有设有N 条外线。由题意有由德莫佛-拉普拉斯定理得其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 N 应满足条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3 利用 契比雪夫不等式 中心极限定理分别确定需要投掷一枚均匀硬币多少次，使得出现“正面向上”的频率在0.4到0.6之间的概率不小于0.9。解 设 X 表示正面出现的次数（n 次试验） 利用契比雪夫不等式由契比雪夫不等式所以因为由德莫佛-拉普拉斯定理得(2)中心极限定理近似
