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1、第四章随机变量的数字特征第一节 数学期望例1 某工厂生产的某产品分一等、二等及三等三个等 级，这三个等级的产量经抽样检查依次占总量的70%、 25%、5%，每件产品相应的产值依次为20元、15元和 10元，问这批产品的平均产值是多少？假定这批产品的总量为假定这批产品的总量为N N，由题设一、二、三等品的，由题设一、二、三等品的 件数大致分别为件数大致分别为N N 75%75%、N N 25%25%、和、和N N 5%5%件，从而总件，从而总 产值大致产值大致 因此平均因此平均 产值就自然而然地理解为产值就自然而然地理解为（一）随机变量的数学期望（一）随机变量的数学期望后一和式的每一项式两个数的
2、乘积，其中一 个是产品可能的产值，另一个式产品具有相应产 值的概率（在此具体问题中用频率替代了概率） 、仿此，对一般离散型随机变量，我们有如下定义：为随机变量X的数学期望，简称期望，记为E(X)，即 则称则称 E(X)是一个实数，形式上是X的可能值的加权平均数，实质上它体现了X取值的真正平均。又称E(X)为X的平均值，简称均值。它完全由X的分布所决定，又称为分布的均值.例2: 某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件 产品有60%的把握按定价售出，20%的把握打折售出 及20%的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品 的利润分别为5元，2元和-4元。问厂家对每件产品可 期望获利多少？解: 设
3、X表示一件产品的利润(单位：元),X的分布 率为X52-4P0.60.20.2X的数 学期望:虽然任一件产品投放市场都有亏损的风险，但每 件产品的平均利润为2.6元，还是有利可图的。若X为一连续型的随机变量，它的数学期望定义 如下：设连续型随机变X的密度函数为飞f(x),若：则称则称若若则称则称x x为数学期望不存在为数学期望不存在此处要求此处要求 和理由同定义和理由同定义1 1例 3 若X的密度函数为则称则称X X服从服从CauchyCauchy分布。其数学期望不存在分布。其数学期望不存在 。 例例 4 4 某公共汽车停靠站每隔某公共汽车停靠站每隔5 5分钟有一辆汽车到站，分钟有一辆汽车到站
4、， 乘客在任一时刻达到此地，求候车时间的数学期望。乘客在任一时刻达到此地，求候车时间的数学期望。解解 设设X X为乘客的候车时间，则为乘客的候车时间，则X X服从服从【0 0，5 5】上的上的 均匀分布，即其密度函数为均匀分布，即其密度函数为故例例 5 5 设随机变量设随机变量X X的密度函数为的密度函数为求求X X的数学期望的数学期望E(X).E(X).解解 f(xf(x) )为一分段函数，且在区间为一分段函数，且在区间【0 0，2 2】之外取值之外取值 为为0 0，因此，因此二二 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望设随机变量X,Y的数学期望E(X),E(Y)存在.三三 数学期望的
5、性质数学期望的性质下面我们来看一个实际问题下面我们来看一个实际问题例例 9 9 某地中秋节的月饼全部来自于某食品加工厂，某地中秋节的月饼全部来自于某食品加工厂， 该地中秋节月饼需求量该地中秋节月饼需求量X X在在4 4到到6 6吨之间服从均匀分布吨之间服从均匀分布 ，食品厂每销出，食品厂每销出1 1吨月饼获利吨月饼获利1 1万元，若积压万元，若积压1 1吨月饼吨月饼 ，则损失，则损失4 4千元（淡季降价处理），为使工厂所获利千元（淡季降价处理），为使工厂所获利 润的数学期望最大，问该厂应生产多少吨月饼为宜润的数学期望最大，问该厂应生产多少吨月饼为宜 ？例 10 在一次试验中时间A发生的概率为p
6、，则在n 次这样的独立重复试验中事件A发生的次数 XB(n,p),求E(X)例12：将n封不同的信的n张信笺与n个信封进行随 即匹配，记X表示匹配成对数，求E（X）。第二节 方差方差具有如下基本性质：方差具有如下基本性质：若是常数C为一随机变量，则D(C)=0设为一随机变量，设为一随机变量，C C为常数，则为常数，则第三节 几种常用分布的数学期望与方差X 0 1 P 1-p p第四节 协方差和相关系数若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律为PX=xi，Y=yj=pij， i,j=1,2,若(X,Y)为二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y)第五节 矩、协方差矩阵设n维随机变量(X1,X2,Xn) 的1+1阶混合中心矩为n维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵。都存在，则称矩阵协方差矩阵具有以下性质： （1）协方差矩阵为对称矩阵; （2）协方差矩阵为非负定矩阵。协方差Cov(x,y)是x和y的1+1阶混合中心矩
