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1、主讲：张丽丽E-mail:河海大学计信学院教材： 袁慰平 孙志忠 计算方法与实习东南大学出版社参考书目： 1. John H. Mathews Kurtis D. Fink 数值方法（MATLAB 版）（Numerical Methods Using MATLAB)电子工业出版社 2. 石博强 赵金 MATLAB 数值计算与工程分析范例教程中国铁道出版社Matlab 实验参考书目：1、Matlab教程张志涌 杨祖樱 等编著（ 北京航空航天大学出版社） 2、Matlab与数学实验张志刚 刘丽梅 等 编著（中国铁道出版社） 3、数值分析及其Matlab实验姜健飞 胡 良剑 等编著（科学出版社） 4
2、、Matlab应用数学工具箱技术手册魏 巍 主编 (国防工业出版社)计算：计算什么？对什么进行计算？ -计算复杂的数值问题 ，对复杂的数值问 题进 行计算；所谓数值，就是其表达与 解是以数值的形似体现，而不是图形等 其他。 学过的数值问题 有哪些？能否列举一些你 不 能解决的数值问题 ？ -高次方程的根，高阶线 性方程组，离散数 据对应 的数学问题 等第一章 绪论第二章 求方程根的近似方法第三章 线性代的方程组解法第四章 矩阵特征值和特征向量计算第五章 插值法第六章 最小二乘法与曲线拟合第七章 数值积分与数值微分 第八章 常微分方程初值问题的数值解法 计算方法1.1计算方法的任务与特点第一章
3、绪论实际问题 数学问题 提供计算方法程序设计 上机计算 结果分析基本的数学问题:1.非线性方程 求解(求根); 2.大型线性代数方程组Ax=b求解; 3. 积分 计算; 4.常微分方程初值问题求解; 5.矩阵A的特征值和特征向量计算; 6.其它。求精确解(值)一般非常困难。例如： 1. 方程组阶数n很大，例如n=20,计算机运算速 度1亿次/秒,用不好的算法,大约需算30多万年;好算法不到一分钟。另外，还有计算结果可 靠性问题。 2. 特征值定义3. 形式复杂时求根和求积分很困难。 4.线性微分方程易解，如非线性方程难解，如 希 望： 求近似解，但方法简单可行，行之有效 （计算量小，误差小等）
4、。以计算机为工具，易在计算机上实现。 计算机运算: 只能进行加，减，乘，除等算术运算和一些逻辑运算。 计算方法： 把求解数学问题转化为按一定次序只进行加，减，乘，除等基本运算数值方法。1.2 误差基础知识一 .误差来源（分类）1. 模型误差。 2. 观测误差。3. 截断误差，如右端是截断误差。4. 舍入误差。计算机字长有限，一般实数 不能精确存储，于是产生舍入误差。例如 ：在10位十进制数限制下：舍入误差很小，本课程将研究它在运算过程中是舍入误差很小，本课程将研究它在运算过程中是 否能有效控制。否能有效控制。二误差基本概念1绝对误差。设 准确值， 近似 值。称 为 的绝对误差。为 的绝对误差限
5、。2相对误差。称 为 的相对误差 。实用中，常用 表示 的相对误差。称 为 的相对误差限。3有效数字设若 (1.1)则说 具有n位有效数字，分别是若 ，则称 为有效数。例1.1设 =0.0270是某数 经“四舍五入”所得， 则误差 不超过 末位的半个单位，即：又 ,故该不等式又可写为由有效数字定义可知, 有3位有效数字，分别是2,7，0。例1.2 = 32.93, = 32.89, 故 有3位有效数字，分别是3,2，8。由于 中的数字9不是有效数字，故 不是有 效数。三、有效数位与误差的关系1. 有效数位n越多，则绝对误差 越小(由定义1.1) 2. 定理1.1 若近似数 具有n位有效数字，则
6、(1.2) 反之， 若 则至少有n位有效数字。两边除以 得(1.3)和（1.4）给出了由自变量的误差引起的函数值的误差的近似式（误差传播）。四、数值运算的误差估计1. 一元函数情形设 则 ，由Taylor展开公式(1.4)（1.3）2. 多元函数情形设 ,则 由多元函数的Taylor展开公式类似可得（1.5）（1.6）在（1.6）式中，分别取,可得同号（1.9）（1.7）（1.8）例1.3：测得某桌面的长a的近似值a=120cm,宽b的 近似值b=60cm。若已知|e(a)|0.2cm, |e(b)|0.1cm。 试求近似面积s=ab的绝对误差限与相对误差限。解: 面积s=ab,在公式（1.5
7、）中,将换为 s=ab, 则相对误差限为:1.3 选用算法应遵循的原则1.尽量简化计算步骤，减少乘除运算的次数.例如，计算多项式 通常运算的乘法次数为若采用递推算法, 则乘法次数仅为n. 又如 2.防止大数“吃掉”小数当|a|b|时，尽量避免a+b 。例如，假设计算 机只能存放10位尾数的十进制数，则3.尽量避免相近数相减例如，当x很大时，应， 当x接近于0时，应4.避免绝对值很小的数做分母当|b|=20) break;endy0=yl;n=n+1; end程序运行 结果: 基本要求：1.熟悉计算方法在解决实际问题中所处的地位， 熟悉计算方法是以计算机为工具求近似解的数 值方法； 2.熟悉绝对
8、误差（限），相对误差（限）及有效 数字概念； 3.熟悉公式（1.2）-（1.9）； 4.熟悉选用算法应遵循的原则； 作业： 第一章 8, 10f(x)=0根或f(x)零点，当f(x)复杂时，很难求（找近似有效简单方法）。2.1 区间二分法理 论 : f(x) Ca,b,单调， f(a)f(b)0 -(1,2)+f(1.25)0 (1.25,1.375) f(1.313)0 (1.360,1.368) f(1.5)0 (1,1.5) 优点：计算简单,方法可靠,只要求f（x）连续. 缺点：收敛慢.不易求偶数重根，也不能求复根.从而一般不单独使用，而常用于提供初值的求解。，则（事后估计）functi
9、on x=nabisect(fname,a,b,e) %fname为内嵌函数 表达式；a,b为区间端点；e为输入定义的精度 if nargin0,error(函数在两端点值必须异号);end x=(a+b)/2 while (b-a)(2*e)fx=feval(fname,x);if fa*fxex0=x;x=x0-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0);disp(x) end if k=N,warning(已达迭代次数上限);end程序如下：程序运行 结果：基本要求1.熟悉区间二分法； 2.熟悉迭代法的建立，会使用收敛定理； 3.熟悉Newton迭代法及其几何意义和收敛条件。作业： 第二章 6，8
